Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
для практики точность. Применяя этот метод, удобнее преобразовать
выражения (5.174) и (5.175) соответственно для потенциальной и
кинетической энергий к полярной системе координат.
Из треугольника ABC, изображенного на рис. 5.41, видно, что малое
приращение dx координаты х соответствует следующим приращениям полярных
координат:
dr = dx cos 0, dQ - -dx sin Q/r.
Тогда, рассматривая прогиб v как функцию от г и 0, получаем
dv dv dr , dv 30 dv n dv sin 0
dx dr dx
dv 00 dv n
~яп = -3" cos 9 - 00 dx dr
00
* Коэффициент Пуассона полагался равным 0,225.
** Kirchhoff G. R. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer
elastischen Scheibe. -Journal fur die reine und angewandte Mathematik
(Crelle), 1850, B. 40, Nr. 1, S. 51-80. Перепечатка: Kirchhoff G.
Gesammelte Abhandlungen. - Leipzig: Johan Ambrosius Barth, 1882, S. 237-
272; Uber die Transversalschwingungen eines Stabes von verandlichen
Quershnitt. - Monatsbericht der Koniglich Preussis-chen Academie der
Wissenschaften zu Berlin. Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse,
1879, Oktober, S. 815-828. Перепечатка: Kirchhoff G. Gesammelte
Abhandlungen. - Leipzig: Johan Ambrosius Barth, 1882, S. 339-351.
449
02о
dr2
Рис. 5.41 COS2 0 -
Аналогичным образом находим
dv dv . " . dv cos0
T" = Sin 0 4- -ггг---.
dy dr 1 50 r
Повторное дифференцирование дает
d2v j d a d sin 0 \
if=(itcos9-10-)
x(^cos0 ^si"0'
x
00
S.) =
d2v sin 0 cos 0 . dv sin2 (
00 dr
r dr
d2v sin20
0 dv sin 0 cos 0 ,
Ж 72 1
002
d2v d2v . 2 Q 1 r,
sin 9 "b 2
d2v sin 0 cos 0
_L
dr2 dv cos2 0
d2v dx dy
откуда следует
dr r
d2v
00 dr
dv sin 0 cos0 Ж r2
02o cos2 0 ~W r2
dr2
sin 0 COS 0
dv sin 0 cos I
02o cos 20
00 cos 20
dx dy r 00
02o sin 0 cos 0
d2v
Их2
dr
d2v
d2v
dy2
d2v d2v
Ж2
d2v / d2v \2 02o / 1
dy2 \ dxdy ) dr2 \ r
dr2 dv
002
J_ 00 r dr
1 02O
rr~dQ2'
, 1 d2v
dr r2 002
(ж)
(з)
(и)
(К)
(л)
Подставляя выражения (к) и (л) в выражение (5.174) и помещая начало
координат в центр пластины, получим
2я а
D г г г / 02о , 1 0о , 1 02о \ 2
~2~ J J |Л1Ж тж + жж
о о
и =
С Г Г/_сРо_ J_ 00, I 02О \ '
J J [ \ 0г2 Г dr Г2 002 )
о о
+2<'-)(4(4-1)П'**.
(5.183)
где а - радиус пластины. Если форма прогибов пластины симметрична.
относительно центра пластины, v будет функцией только радиуса г. Тогда
выражение (5.183) принимает вид
U-.
d2v
dv
dr2
dr
rdr. (5.184)
450
Б случае пластины, жестко защемленной на крае, интеграл
обращается в нуль. Тогда из выражения (5.183) получаем
2л а
О О
Если прогибы рассматриваемой пластины симметричны относительно ее центра,
имеем
Кинетическая энергия круговой пластины в полярной системе координат
принимает вид
Используя эти выражения для потенциальной и кинетической энергий, можно
найти частоты собственных форм колебаний круговой пластины при различных
граничных условиях *.
Круговая пластина, жестко защемленная по контуру. Задача о круговой
пластине, жестко защемленной по контуру, представляет собой интерес в
связи с приложением к расчету телефонных мембран и другим аналогичным
случаям. Используя метод Релея- Ритца, предположим, что искомое решение
имеет вид (е), но Z является функцией как г, так и 0. При колебаниях по
низшей форме конфигурация прогибов колеблющейся пластины симметрична
относительно центра пластины, поэтому Z будет функцией только г. Если
функцию Z задавать в виде ряда
условие симметрии прогибов будет выполнено. Условия на контуре будут
также выполняться, поскольку каждый член ряда (м),
* Вынужденные колебания круговых пластин были исследованы В. Флюгге (см.
Flugge W. Die erzwungenen Schwingungen der Kreisplatten.-Zeitschrift
tech-nische Physik, 1932, B. 13, N. 4, S. 199-204).
a
(5.186)
о
(5.187)
о о
или в случае центральной симметрии
а
(5.188)
о
(м)
451
а также их первые производные по г при г = а будут обращаться в нуль.
Условие минимума, соответствующее равенству (5.181), в рассматриваемом
случае имеет вид
+ <5'|89>
дат_
О
Удержав только один член ряда (м) и подставив его в равенство
(5.189), получим
96 p2ph а2
9а2 D 10
откуда
р = (10,33/а2) |/D/(p/i). (5.190)
Для того чтобы получить более близкое к точному значение для частоты
колебаний, удержим в ряде (м) два первых члена. В результате получим
f / d2Z . \ dZ\ , 96/2,3 ",9 г\
J \ dr* ~T~drj гс^г - (а' - °1а2 + -JQ- аг) 1
0
Из условия (5.189) находим
192 % \ . / 144
/192 'К \ , /144 К \ Л
Ul \ 5 5 ) "Ь а2 g 6 ) '
/144 % \ , /96 % \ п
ai ( 9 б)^а2(б 7 )
(Н)
где
К = a*p2phlD. (о)
Приравнивая нулю определитель системы (н), получим К2 - Я, + 768 • 36 • 7
= 0,
откуда имеем
К = 104,3; Я* = 1854.
Подстановка этих значений в (о) дает 10,
Pi
.21 l/D "2 43,06 ~\f D ,к 1fm
а- V рй ' Р =-&- V -&¦ (5Л91)
Таким образом, видим, что рх является уточненным значением частоты низшей
формы колебаний круговой пластины, а р2 представляет грубое приближение
для частоты второй формы колебаний, когда колеблющаяся пластина имеет
одну узловую окружность. С помощью
