Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотренным в § 22. По формуле (3) § 22
Рй
(t) = k} = e~(X+)x')t Iь (2A,'VM
при k = 0, ±1, ±2, ....
Заменив ? (/) - ? (и) в формуле для ? (/) на ? (/ - и) при 0 и получим
новую случайную величину
? (0 = sup {? (0) + I (0 и | (и) для 0 < и < ?}.
Она имеет то же распределение, что и величина ? (/). Таким образом,
Pik (0 = Р { sup ?(")<? и | (t) < k - i}.
0< "
В силу (13) § 22
Р{ sup |(и)<А и i(0 = /} = P{l(0 = /}-f^)*+1P{i(0 = /-2*-2}
0<u<f \ М- /
при j <1 к. Суммирование этих вероятностей для j - i дает
") = Р{| (0<й-/}-(^-)А+1Р{? (0 < - * - / - 2}. -
Если Я< ц, то
/ Я \*+1
lim Pik (0 = 1 -
t->co \ !^ /
2. Если процесс {? (и), 0 и < оо} определен так же, как в задаче 1, то 0
(г) можно интерпретировать как момент, когда впервые ?(") = - /'. В силу
14 § 22
Р{0 (/)<<} = 1 -Р{ sup V(u)<i),
о <u<;
где ?* (и) - - | (и) при и^0. Отсюда по формуле (9) § 22
Р {0 (0 < 0 = Р {? (0 < - /} + (i)' р {? (t) > Д
3. Предположим сначала, что {? (и), 0 ^" < оо} - процесс случайного
блуждания, рассмотренный в § 22, и найдем вероятность Р{- &<?(")<а для
0<"<0-Пусть
1 я J_я
Р = 2 2аЯ1'2 ' 9 = 2 2аЯ1/г '
где а = [дгЯ'^/ст], 6 = [уЯ^/а]. Устремив Я к оо, найдем Р {-(/<?(")<*
для 0 < м < /}•
Решение задачи 4 гл. 1 дает
Р {- Ь < | (и) < а для 0 < и < / и ? (0 = Л v (0 = я} =
= Р{- b<Nr - г <а для г - 0, 1, ..., п и Nn - п - j}-
V ( п U Y ( П X] пО + /)/2а(п-П/2
Li \ 1/2 (" - /) - * (а + Ь) ) ^U/2 (n-j) + a + k(a +
b) ) Р q
к к
если -b<j<a. Действительно, процесс {Nr - г, г = 0, 1, 2, ..., п} задает
путь случайного блуждания за первые я шагов. Если Nn - n - j, то каждый
путь имеет вероятность р(п+Р/2д1п~1У2) а число благоприятных путей можно
найти
Решения
235
из решения задачи 4 гл. 1 положив там а = (п - j)/2, b = (п + /)/2, с-а и
d = а + 6. Тогда
Р {- Ь < | (а) < а для 0 < и < 1 и ? (0 = II =
"Sff) Ha+b)p(U0 = / + 2(a + 6)/j}-
k
/ n\k(a + b) + a
_2j (f) Р{Б(0"/-2а-2й(а + 6)}.
ft
Просуммировав эти вероятности для - ?</'<д, получим
Р {- Ь < ? (и) < а для 0 ^ =
V'l / n \ (Я + fr)
= 2Д- Р {2 (а + 6) А - 6 < ? (о < 2 (а + 6) * + а} -
k
-^ii[^yia+b'+C'p{-2(a + b) (k + \) + b<t(t)<-2(a + b)k-a). к
Переход к пределу с учетом того, что
Ип, if./* = e*v(r)
Л -> оо
где
Л,->оо \ Я
х
Ф (х) = i= f e-"2/ /2я J
=> "2^2
дает
Р {-у ^?,(и) ^ х для 0 ^ и t} =
= V exp ^~2ka (-х + у^ |ф ^ (х + у) + х-at ^ _ ф ^ 2к (х + у) - у - at j
j _ k
у x Г 2&a (x + у) + 2ax 1 Гф / - 2k (x + у) - x - at \ _
"ZiexpL CT2 J[ ( ггY~T I
_ ф I - 2 (fe + 1) (x + y) + у - a* j j _
4. Для процесса {? ("), 0 ^ и < oo} выполняются соотношения (3) и (4)
§ 23 Можно применить метод, описанный в § 25. В данном случае формула (7)
§ 25 принимает вид
1 _JLW = 5 +._gg (г ш) "р- (г и,)
W W
при 0 < ю < оо и Re (5) = 0, где функция
а - V а2 + 2 wa2
ЧГ+ (г, т) = г - -
236
Решения
регулярна и отлична от нуля в области Re (г) ^ 0, а (г, w) регулярна и
отлична от нуля в области Re (г) ^ 0. Если ri (/) = sup t, (и), то в силу
(9) § 25
", f ,""<F (,-"lHt = У+ (°> ">) = V^a2 + 2wa2 -a
J ' VF+ (s, w) a2s -t-V~a2 -I- 2wa2 - a'
0
Формула обращения дает
P {n (0 < 1 - -j?=- f exp Г-{x_-mifl
}'2jt a J . 2a2" J uh
о
для x ^ 0.
Заметим, что если я = 0, то Р {г) (/) х) = Р {г| (1) ^ x/Vt}.
5. Применяя известные соотношения для функций Бесселя (t)
2klk (t) t
' = !k-\ (t) - /* + i (t)
2/* (0-W0+W0.
получаем
jPR (0 =k} = XpP (I (/) = ? - 1} - X</P {| (t) = k + 1}
{6 (0 " A + 1) - VP ft (0 = *)•
Последнее равенство можно доказать также вероятностным методом, а именно
Р {! (/ + М) < 6} = Р {|(0 < k) + Р (| (0. = k + 1} Xq Ы - Р (| (0
= k) Хр М + о (ДО-
Так как Р {| (t) - k) = (p/q)k- Р {| (t) = - k), то
rf[P {I {t)<k}-(plq)k P(? (<)<-*}] dt
- Я<?Р {? (0 - A} - XpP {? (t) = k - 1} - XqP {? (t) k) +
+ XpP {? (0 = - k - 1} - XqP (| (/) - * + 1} _ XpP {? (t) = k - 1} =
= -jPfi W-A}.
Проинтегрировав последнее уравнение от нуля до t, придем к искомому
тождеству.
6. По теореме 5 § 24
" , у , , ^ , W (х - с)
Р { sup ? (н) < j: - с) = Ш1 '¦
О< ы <8(с) w W
для 0 < С < X и
ОО
Решения
237
для Re (s) > со, где
ОО
У (s) = as - J 11
. e~sx _ SJC I + x'j
-^-(a + V-Os + slcgs,
Y = 0,5772157 постоянная Эйлера, а со = el ° v -наибольший
неотрицательный корень уравнения У (со)=0. Таким образом,
| e~sxW (х) dx ¦¦
1
s log (s/co)
для Re (s) > со и по формуле обращения
W
и+1
(" + 2)
du
для дс>0.
7. Пусть т| (0 = sup ? (и). Если Re (s) ^ 0 и 0 < w < оо, то 0<ы<<
СО
w j e~wtE {e-^jdt = exp [ - A { log (l - }].
о
где 'F (s) = - | s | для Re(s)=0. Легко видеть, что P 0i O') < x} =¦ F
(x/i) для <>0, где функция распределения F (х) имеет плотность f (х) =
F'(х) для дс>0. Следовательно,
оо ОО ОО ОО
J e~wtE {e-^dt^w ^ e~wt J e~sxf (у) ~ dt = w |
f(x) w -+• sx
dx.
С другой стороны,
AMl+Jr-)}-T5T J FT]?1°''(1+JiL)''!'-
0
Подстановка o' w/s дает интегральное уравнение Стильтьеса
1_ J log (и 4-су) о
av, Г Ji?Ldx =
J X +СГ
r'k j Ш
о
решение которого имеет вид
ехр
п J 1 + и2
