Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
. P{v (u)=k} = e-u~
при k = 0, 1, 2, ... и ц>0. Тождество, которое требуется доказать, можно
записать в виде п
2 Р {v (х + k) - k} Р (v (t - X - k) = n - k) - P {v (0 ^ n).
k=0
Если 0<x<t- n, то по формуле (2) § 15 P (v (u) ^ и - x для и v (t)
^ п] = Р (v (t) ^ п] -
~ (г - Т=Т") Р (V (х + *)=*} Р {y(t-x-k) = l-k}.
0 <?</<гг
Здесь левая часть, очевидно, равна нулю и, так как
Р {V(t-X-k)=l-k}= р {V (t - Л - k) = I - k - 1)
(/ К)
для всех / = k Т 1, k + 2, ..., то
П
Р {V (0 п) = 2 Р (V (X + = [Р (v {t - х - k)
< n - k) -
ft~Q
- P (v (f - X - fc) ^ n - fe - 1}]
Решения
231
что и требовалось доказать. Так как левая часть доказываемого тождества
является полиномом от х и /, то оно справедливо для всех х и /.
8. В данном случае
P{v (u) = j} = e-Xu^-
при / = 0, 1, 2, ... и и^О. По теореме 1 § 15
Р { sup [v (и) - си] ^ х} = Р {v (t) ^ ct + х] -
о<"<г
x</<fe<cf+x
= P{vW< ct + x}- ^ P{V(^T^) = /+
х< jss:ct+x
-7р{"('-^)<с/ + д:~/-1}]
для всех х, а в силу формулы (3) § 15
Р{ sup [v (и) - си] ^ 0} =
0<"<f
= S (' ~ir) р WW=/} = p{v(/)<c/}-jP{v(0<c/-l}.
0 </<с*
Согласно теореме 3 § 15, при Я<с
P{o<uU|"[v(")-c"]<jc}=1"(1-t)SP{v(I7?) = /}
1>Х
и Р { sup [v (и) - си] ^ х} = 0 при Я ^ с.
0<! и < оо
По теореме 1 § 17
Р{ sup [си - v (u)] < х}= 1 - V -^-r Р | v (= / i
0<"<f •* + / 1 \ С / J
0</<c<-x
для всех х>0, а в силу формулы (6) § 17
ОО
Р { sup [си - V (и)] < х} = 1 - V -~-т Р | v ) = i\
0^ U < оо X ~г J I \ ^ / )
/-о
для всех х>0; при Я^с правая часть равна 0.
9. Если /<шх, то Pn(t)= 0. Предположим, что t^na. Обозначим через V (и),
0 ^ и <1 t, число столкновений электрона с молекулами газа в интервале
(0, и). Тогда {v (и), 0 и ^ t) - пуассоновский процесс с интенсивностью Я
и
P{v (и) = Л = е~Хи
при у == 0, 1,2,... и в^О, Положим / (и) = av (и) для 0 ^ и ^ /.
Вероятность того, что в интервале времени (0, t) электрон имеет ровно п +
k столкновений с молекулами газа и по крайней мере п из них приводят к
ионизации, равна
Р {/ (") ^ и + ka для 0 < и < / и х (/) = (п + k) a}
232
Решения
при t^na. По теореме 1 § 15 эта вероятность равна
Р {% (0 = (n + k)a}~ ^ {ч~-у~) р fa (у) = У + Ьа, % (<) = (п +
k) о}
0< */<гса
и Р (X (у) - У + ^а} = 0, кроме тех случаев, когда y = ja и Таким обра-
зом, она принимает вид
гс
Р {v (/) = п + ft} - ^ (I-") Р {v О'а) = / + 6, v (/) = " + 6).
/=1
Просуммировав эти вероятности для & = 0, 1, 2, получим
ГС
Л. (О = Р {V (0 > "} - ) р {V О'а) > /} Р {V (< - /а) = п - /}
/=1
при t ^ па.
10. Пусть первое событие пуассоновского процесса происходит в момент
у(0<у<°°), а величина первого скачка равна z(0<z<oo). Тогда
оо Х + у
W (х) = J J W (х + у- 2) е~%у% dy dH (z). о о
Положим
оо
Q (S) = | dw (х)
о
и
оо
ф (s) = J* e~sx dH (х)
при Re (s)>0 и обозначим через а математическое ожидание функции Н (х).
Если в написанном выше интегральном уравнении перейдем к преобразованию
Лапласа, то получим
ОО ОО ц + 2
Q(s) = Xs [ | | e-su-sz-\y+syw [и) du dH (z) dy.
0 0 0
При s ф Я
OO 00
a(s> = I"T7 j j U~S{U+Z) ~e~Kiu+z)]W(u)dudH(z) =
о 0
Решения
233
откуда
sfl (Л) ф (Я) "() в-Я[1-ф(в)]
для Re (s) > 0.
Если Яа<1, то, согласно сильному закону больших чисел, lim W (х) =*= 1,
Х-*°о
или lim Q (s) - 1. Это дает Q (Я) -ф (Я) = 1 - Яа, и потому
5"> +о
f~\ / \ 1 Яа
й (s) = -
^ [1 - -ф (s)]
при Re (s)>0. Если Яа > 1, то W (х) - 0 для всех х. С помощью формулы
обращения можно получить W(x) в явном виде. См. формулы (13), (14) и (17)
§ 19.
Замечание. Так как вероятность того, что в нашем пуассоновском процессе в
интервале времени (0, и) произойдет точно одно событие, равна Я" + о (и),
а вероятность того, что в интервале (0, и) произойдет более одного
события, равна о(и), то
х+и
W (х) = (1 - Я") U7 (х + ") + Я" J W (х + и - у) dH (у) + о (и).
Предельный переход и->0 дает
х
W (*) = ЯГ (х) - Я J W(x-y) dH (у)
для х > 0. Беря преобразование Лапласа от обеих частей этого уравнения,
получаем
s [й (s) - W (0)] = Яй (а) - Яй (а) ф (а)
при Re (а) ^ 0, откуда
sW (0)
Й (а) =
а-Я [1 -ф (а)]
при Re (а) > 0. Если Яа<1, то lim й(а) = 1, 'а потому W (0) = 1 - Ха.
Если
s 4-0
Яа ^ 1, то й (а) = 0.
Глава 4
1. Моменты поступления требований образуют здесь пауссоновский процесс
С интенсивностью Я. Моменты окончания обслуживания можно охарактеризовать
следующим способом. Рассмотрим пуассоновский процесс с интенсивностью р,
независимый от процесса поступления. Окончание обслуживания наступает
только тогда, когда происходит событие в пуассоновском процессе с
интенсивностью р и в этот момент в системе есть по крайней мере одно
требование. В соответствии с этим длину очереди ? (i) в момент t можно
выразить следующим образом. Пусть {vj (и), 0^и<оо} и {v2("),0<" < оо} -
независимые пуас-соновские процессы с интенсивностями Я и р
соответственно. Положим ? (и) = = V! (и) - v2 (и) для и ^ 0. Тогда
? (/) = sup {? (0) + ? (I) н ?(<)-?(") 0 <"<0-
234
Решения
Процесс {§ (")> 0 < и < оо} является процессом случайного блуждания,
