Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 79

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 91 >> Следующая

/ = 1
если k^O, где, согласно формуле (12) § 10,
k
/*=о
В силу (21) § 8
У * с-а, ("гУ-*
^ Г (/-*)*
/=*
для 6 = 1, 2, ..где б = 1 при а ^ 1, а если а> 1, то б - единственный
корень уравнения е-а*1-й^=б в интервале (0, 1).
9 Пусть п - 1 точка распределены независимо и равномерно на интервале (О,
1). Обозначим через vr число точек в интервале ((г-1)/п, r/п). Тогда Vi,
v2, vn - переставляемые случайные величины, принимающие неотрицательные
целые значения. Положим Nr = Vj + ... + vr для г = 1, 2, ..., п. Тогда
р 1
при г = 1, 2, ..п - 1 и Р {Nn = п - 1} *= 1. Если в формуле (1) § 8 k =
1, то
п
2 |р{^=/-1}=1,
/-I
что и требовалось доказать.
10. Здесь <р (s) = Е {e~s^r} - Xe~as/(X - s) для Re (s) > -X. Если 0 ^ w
< 1,
то
. X - s - Xwe~as Ф+(s, ш)
1 - wq> (s) -----;---------= --H-f-
X - s Ф (s, w)
228
Решения
для Re(s)>-А, где Ф+ (s, w) = (А - s - hwe~as)/(s - 6 (w) ) и Ф- (s, w) =
= (A - s)/(s - 6 (w)). Величина s = 6 (w) является единственным корнем
уравнения
Xwe-b^k-s (1)
в области Re (s) > 0. Если | Я - s | ^ Я и Re (s) ^ 0, то | Xwe~as I < Я
и (1) не может иметь корня в этой области. Если | Я - s | = А, то
\Xwe~as\<X и в силу теоремы Руш? уравнение (1) имеет в области |А - s|<A
столько же корней, что и уравнение A - s = 0. Следовательно, (1) имеет
ровно один корень s = 6 (ш) в области | А - s | < А.
Далее, Ф+ (s, w) - регулярная функция от s, не имеющая нулей в области Re
(s) ^ 0, а Ф_ (s, w) - регулярная функция от s, не имеющая нулей в
области Re (s) < 0.
Положим Ф" (s) = Е {e~'sr|n} при Re (s) > 0. По формуле (20) § 11
(1 - ш) 2 (r)"(s) шп = -
Ф+ (0, w) (. s \ А (1
Ф+ (s. w) V 6 (ш) / А - s - Аше" л=о '
Используя разложение Лагранжа, получаем
ОО ?
00 * rt -1 , ,
*_ = -L + J- V, e~lanwn у (/+ 1) (кап)"-1-1
б (w) A A п (и -1-у)!
л=1 /=о
при |ш|<1. Отсюда легко найти п= 1, 2,.... С помощью
формулы
обращения теперь можно вычислить в явном виде вероятности Р {т|" ^ х}, п-
1,2......
Глава 3
1. Имеем
Р{Х (") = /} = е-Л"-^-
при 0 и / = 0, 1, 2,______ По теореме 1 § 15
Р [ sup [х (и) - и] < х\ = Р (х (0 < t + х) -
1 ;<"</ J
- 22 ('м-Г=т) Р{х0~*) = '}р{х(' + *~') = *~<] =
x<IKk<l+x
= Р {X(t)<t + x}~ 2 Р {5t O' - jc) = /} f P {5t (/ + *-/) + *
-/}-
x<j<^t+ x
-Я,Р{х(/ + Дс-У)</ + *-/-1}]
для всех x.
Здесь мы воспользовались равенством
/Р (х (") = У) = (х (") = ;'- О
для /=1,2,... и и ^ 0.
Есди, в частности, х = 0, то в силу (3) § 15
У
Решения
229
а по теореме 1 § 17
Р{ sup [u-x(u)]<*] = l- V - * Р {'/ (х + /) = /}.
х + j
О</<(
2. В данном случае Е (х (и)} = Я и при и ^ 0, т. е. р = Я. По теореме
1 § 14
1 - Я, если Я <11, если Я 1.
Р (X (") < и Для 0<и<оо} = |^
3. Если д > О, то Е (%(и)/х) = каи/х при и >0. Процесс (х (и)/х,0 < и
< оо} удовлетворяет условиям теоремы 1§ 14, причем р = ка/х. Поэтому при
х>0
1 - ка/х, если Яа <1 х, если Яа>д.
Р (X (") <хи для 0<"<оо} = |0
4. Если Я < 1, то по формуле (37) § 15
1-х) (________________
/! 1 - Я
j>x />max(0, д)
где U7 (д-) =0 при дг < 0, W (0) = 1 - Я, а по формуле (20) § 19
М • /
Г (л:) = (1-Я)^(-1)/е>'(ж~/) |Я (Л'~ ,}1 ¦
1=0
для дг > 0.
В силу (20) § 17 для д>0
I ттг р ,!t <*+" -й - S ттГ'м'+л -^тг^ -
/=о /=о
где (0 = 0 при Я <11, а если Я>1, то (0 - единственный положительный
вещественный корень уравнения ш = Я(1-е_").
5. Если Яа<1, то в силу задачи 4 Fia (х/а) = 1/(1 - Яа) для д>0. Если
Яа> 1, то существует такое Я*, что Я*а < 1 и е~кака = е~к ак"а. Так как
e-kaxF\a (х/а) = e~k'axFK*а (х/а)
и Ея*а (х/а) = 1/(1 - Я*а) для д>0, то
е (К-К") ах Ры(х/а)= Г_^а-
для х> 0 и Яа >1.
Эти два случая можно объединить в одну формулу:
Рка (х/а) =
1 - (Я - ш)-а
для д>0, где ш - наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения
Я(1 - е~асо) = ш. Если Яа<1, то а> = 0, а если Яа>1, то <в>0. Если Яа =
*= 1, то Е\а (*/а) " 00 при Д > 0.
230
Решения
6. Сначала докажем тождество Абеля для х > 0 и t> х + п. Пусть п
случайных точек распределены независимо и равномерно на интервале (0, t).
Обозначим через х(и), 0 <1 и <1 t, число точек в интервале (0, и). Тогда
{% (и), 0^ и <1 0 - случайный процесс с неотрицательными переставляемыми
приращениями и
Р(х(")-"-(2)(т)'(1-гГ''
если k = 0, 1,2,..., п и 0 <1 и ^ t, причем Р {% (t) = п) = 1. Если 0 <х
<t - п, то в силу (1) § 17
J Р 1% (У) =У~х}= 1,
или
X + k JmJ X + k \ k
0 • k=0
откуда
п \ / х + k ) k ( x + k\n~k
2 * ( й ) (* + kS>k~X V~x'
,k)n-k = tn
\ к /
k~0
при 0 <x <t - п. Если t фиксировано, то левая часть этого уравнения
является полиномом от х; при 0<д: <t - п она постоянна. Следовательно,
она постоянна для любого х (вещественного или комплексного). Аналогично
при фиксированном х левая часть является полиномом от t и равна tn при
t>n + x. Следовательно, она равна tn для всех t (вещественных или
комплексных). Иначе говоря, приведенное выше тождество выполняется для
всех х и t.
7. Пусть 0 <x<t - n и (v (и), 0 ^ и < оо) - пуассоновский процесс с
единичной интенсивностью. Тогда
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed