Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
А и В набирают по п голосов, то чему равна вероятность того, что при
подсчете число голосов, поданных за А, все время не меньше числа голосов,
поданных за В? Если в формуле (2) § 2 положить а = п, Ь - п и р = 1, то
получим искомую вероятность Q = l/("+l).
(b) Вероятность того, что среди перешедших через мост людей число мужчин
всегда не превосходит числа женщин, равна 1/(я+1), а вероятность того,
что ни один мужчина не перейдет через мост раньше своей жены, равна 1/2".
Таким образом, искомая условная вероятность равна (я+1)/2л.
(c) Обозначим через аг и рг число соответственно проигранных и выигранных
игр среди первых т игр. Тогда а, + ... + азп+2 = п + 1 и pi + ... + рзп+2
= = 2я+1, а искомая вероятность равна Р = Р {0 ^ рг - аг ^ п для г =
1, 2,...
..., Зп + 2}. Применяя формулу (2) задачи 4 при а = п+ 1, 6 = 2я+1,
с = я + 1,
d = п + 2, получаем
1 |7 3я + 2\ /Зя + 2\ /Зя + 2\ ( Зя + 2 \] =
/Зя + 2\ LI п+\) \2п + з) \ 2я + 3 / \ п JJ
I п+\)
8. Имеем
Р > а(2г* > ... > для г = 1, 2, ..., а, + ... + а"} =
4я + 6 '
П П {^0^-) /=1 /-/+1 ' '
Глава 2
1. Определим случайные величины vr, г = 1, 2,..., а + Ь, следующим
образом: vr = 0, если г-й голос подан за А, и vr = p + l, если r-й голос
подан за В. Тогда Vj, v2, ..., \a+b - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения, a Vi + v2 + ... + va+* = 6 (р
+ 1). Положим Nr = V] + ... + vr, г = 1, 2, ..., а + Ь. Так как Nr = pr
(р + 1) и г = аг + рп то рРл<ал + с тогда и только тогда, когда Nr<r + c.
В силу (1) § 6
P = P{Nr<r + c для г = 1, ..., а + Ь} -
Ь (р+1)-с
/-1
и очевидно, что
при s = 0, 1,..., min (b, j). Таким образом,
(a+c-bji) у / а \/6\//а + 6-1\
(а + Ь) ^ \sp - c/\s//\sp + s - с)'
(e+l)/(P+l)<s<b
2. Определим vr (г = 1, 2,...) как сумму единицы и выигрыша игрока Л В
Г-Й игре. Тогда Vj, v? \r,... - взаимно независимые и одинаково распре^
Решения
225
деленные случайные величины и P{vr = 0} = ^ и P{vr = 2}=p. По теореме 2 §
7 PA = QblQa+b' где Qo = ?Qi и
Qk - qQk+i + pQk-i< k - \, 2......
Решение этого рекуррентного уравнения имеет вид
( Qo (1 - (plq)h'
Qk-
I 2Q0k, если p = q и 6 7^1.
нинмлчии J.* r Ml ••• I ' *"
определяется в задаче 2. В силу (16) § 8
р <р (",-">-? р №-'¦-")- j (1/2 ) p'-'V"'"
при га = а, а + 2, а + 4,- Если р < <7, то Р {р (а) < оо} = 1. Далее, Е
{р (а)} = = а/( 1 -2р) для р < 9 и Е {р (а)} = оо для p = q. Если р > q,
то Р {р (а) = оо}= {q/p)a.
4. Определим vr (г = 1, 2, ...) как сумму единицы и выигрыша игрока А
в г-й игре. Тогда Vj, v2 vr, ... - взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины и Р (vr = j} = pq1, j = 0, 1, 2 По
теореме 2 § 7
PA = QblQa+b' а в силу (8) § 7
QoP
(1 - г) (р - <рг) ' k=o
откуда
"•('-,^Г1)'
/-о Р | Qo (Й +1), если р = q.
5. Положим Nr = vj + ... + vr, /- = 1,2..... где пЬследовательность (vr)
определяется в задаче 4. В силу (16) § 8
при п = а, а + 1..... Если <7 < р, то Р (р (а) < оо} = 1. Кроме того, Е
(р (а)} =
= ар/(2р-1) при q<p и Е (р (а)}=оо при q = p. Если q>p, то Р{р (а) =
оо}=(р/^)а.
6. Здесь у - Е (vr) = 2р. Если 2р < 1, то по теореме 3 § 6
Р{ sup (Nr - г) <6} = 1 - (1 - 2р) У (2Г~ MpV~*
1<Г<оо \ Г / ¦
г ё шах (0, (ft+p/2)
для всех k и по теореме 4 § 6
Р{ sup (NT-r)<k}= 1 -(-?-) ,
Кг<оо \ q)
ррли k 1 и Р { sup (Nr - г) <0} = 1 - 2р. Если 2р !> 1, то
1</<оо
Р{ sup (Nr-r) = Qo}=s J.
< °9
226
Решения
В силу (6) § 8
p{1<sruP00(r-^)<ftl = 1-SlT27(ft +Г2т)ргчк+Г
г=о
при 6 > О, а в силу (7) § 8 при 6>0
Р{ sup (г - Wr) <6} = 1 - 6ft,
l^r < OO
где b = q/p, если 2p>\, и 6 = 1, если 2,o<;i.
7. Здесь случайные величины vb v2, vr, ... могут быть'.Представлены
так же, как и в примере 4 § 10 при Л = 2. Будем употреблять те же
обозначения, что и в § 10. Используя результаты задачи 6, получаем
( 1 - (-г--) , если 0 < х ^ 1/2,
Р = { sup (Nr - г) < 6 | 0 = х) = j \ 1 ~ х I
1<г<°о ^ 0, если 1/2<л:^1,
при 6 = 1, 2, ... и
( 1- 2лт, если 0^лг<1 /2,
Р{ sup (Nr-г) <0) |0 = х} =
1<г<оо 1. 0, если 1/2<х^1.
Распределение величины 0 определяется по формуле (15) § 10:
Г (а + Р)
о
при 0 ^ х ^ 1, где а = а/с и {5 = b/с. Отсюда
1/2
Р sup " (Nr - г) <k} = J [xa~] (1 (1 - dx
при 6 = 1,2,... и
1/2
P{ sup (^f-r)<0)= r Г [*"-* (1 - x)p--x.a (1 -x)(r)-1]rfx.
Kr<oo 1 (a) 1 (p) J
0
Из результатов задачи 6 следует также, что
1 V \ ь
если 72 < х < 1,
Р{9<х) = гГ(5г(Р) I11" '(1_г/)Р 'dy
Р f sur (г - Nr) <6|0 = х) = { \ х } '
И<Г< оо 1 ^
I " если о<х<7г>
при 6 = 1,2, .... Соответствующая безусловная вероятность равна Р{ sur
(г-ДГг)<6] =
Ч^Г < оо J
гт!)?(Р)- J Г*0-1 (I -х)"-1 -Xе-*-1 (1 -х)Р+*-Ч
ч"
dx
Решений.
227
при k = 1, 2 С учетом формулы (21) § 10 имеем
Pf sur (r-NT)<k\=>
Ч^Г<оо J
V Ь /а + г-l\)p + Hf-l\// a+P + fe + 2/- - 1
Zl (k + 2r) \ r J I k + r )/[ k + 2r
r=о
при k = 1, 2...........
8. В силу (26) § 6 при a < 1
V "-a/ (a/)/ + ft
если ft < 0,
ZJ (/ + ft)! 1 - a ' l=-k
Г g-a/ Mi
j 1 1 - a
/=¦1
V .-a; (aj)/ + fe 1-Qfe ^ (/ + fe)l 1 - а '
