Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
[8] Littlewood J. E., The converse of Abel's theorem, Proc. London Math.
Soc., Sec. Ser., 9 (1911), 434-448.
[9] Tauber A., Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen, Monat.
Math. Phys., 8 (1897), 273-277.
7. АБЕЛЕВЫ И ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА - СТИЛЬТЬЕСА
Если функция а(л:), 0^л:<оо, имеет ограниченную вариацию в любом конечном
интервале, то интеграл
(8)
(9)
ЛИТЕРАТУРА
[1] A b е 1 N. Н., Untersuhungen iiber die Reihe 1 + -у- x + m ^ x2 +
...,
oo
oo
(1)
0
+0
называется ее преобразованием Лапласа - Стильтьеса.
7. Теоремы для преобразований Лапласа - Стильтьеса
215
Абелевы теоремы
1. Если q>(s) сходится при Re(s)>0 и предел
<2>
существует для некоторого с^О, то
lim sc(p(x) = A. (3)
+0
За доказательством мы отсылаем к Уиддеру [6].
2. Если q>(s) сходится при Re(s)>0 и
"W~r(7T7yLM W
при х->оо, где функция L(x) такова, что lim L(ax)/L(x) - 1 для
Х-"оо
любого положительного числа а, то
ф(*)~-7-^(7) (5)
при s -> + 0.
См. Харди и Литлвуд [3].
Тауберовы теоремы
1. Если а (х), 0 ^ х < оо, - неотрицательная неубывающая функция от
х, a qp(s) сходится при Re(s)>0 и для некоторого с^О
lim /cp(s) = A, (6)
+оо
ТО
1 aW _ A /7\
Г (c+ 1) ' (7)
Доказательство см. Уиддер [6].
2. Если а (х), 0 ^ х < оо, - неотрицательная неубывающая функция от х, а
ф(х) сходится при Re(s)>0 и
<P(x)~^-l(!) (8)
при s-> + 0, где с]>0 и функция L(x) такова, что
lim L (aX)/L {х) = 1
Х->оо
для любого положительного а, то
а(*)~ ПсТТ) 1 ^ ^
при X -* оо.
См. Харди [2],
216
Дополнение
3. Если а (х), 0 ^ х < оо, - неотрицательная неубывающая функция от х,
a q>(s) сходится при Re(s)>l и существует такая константа А, что разность
<P(s)-j4r 0°)
равномерно стремится к конечному пределу на любом конечном интервале
прямой Re (s) = 1 при Re (s) -"• 1 + 0, то
lim 2$- = А. (11)
Я-^оо *
Эту теорему доказал Икеара [4, 5]. См. также Н. И. Ахие-зер [1].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, изд-во "Наука", М.,
1965.
[2] Харди Г., Расходящиеся ряды, ИЛ, М., 1951.
[3] Hardy G. Н., Littlewood J. Е., Notes on the theory of series (XI): On
Tauberian theorems, Proc. London Math. Soc., Sec. Ser., 30 (1929), 23-37.
[4] Ikehara S., An extension of Landau's theorem in the analytical theory
of numbers, J. Math. Phys. М. I. T., 10 (1930-31), 1-12.
[5] Ikehara S., On Tauberian theorems of Hardy and Littlewood and a note
on Wintner's paper, J. Math. Phys. М. I. Т., 10 (1930-31), 75-83.
[6] W i d d e r D. V., The Laplace transform, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, 1964.
[7] В и н e p H., Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физматгиз,
М., 1963.
8. ТЕОРЕМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Пусть п= 1, 2, ..., -бесконечная последовательность случайных величин,
принимающих вещественные значения. Пусть Fn (х) = Р Цп <х} и Rn = {x:
Fn(х + е) - Fn(x - е)> 0 для всех
е>0}. Положим R - lim Rn.
П-> оо
Теорема Хелли - Брея. Пусть существует такая функция распределения F(x),
что lim Fn(x) = F(x) для любой точки х, в ко-
П-> ОО
торой F (х) непрерывна. Если функция g (х) ограничена и непрерывна на R,
то
оо оо
lim [g{x)dFn{x)= f g (x) dF {x). (1)
71 -> oo J J
- oo -oo
Доказательство см. Лоэв [4].
Если lim g(x)= lim g(x) = 0, то равенство (1) верно также и
X->oo Я-*- ОО
для несобственных функций F(x).
5. Теоремы непрерывности
217
Если Rn cz{0, 1, ...} и g(x) = zx при |z|<l, то получается теорема
непрерывности для производящих функций; при | z | < 1 равенство (1) верно
также и для несобственных функций F(x).
Если Rn а [0, оо) и g(x) = e~sx, где Re(s)^0, то получается теорема
непрерывности для преобразований Лапласа - Стильтьеса; при Re(s)>0
равенство (1) верно также и для несобственных функций F(x).
Если Rn cz( -оо, оо) и g(x) = eiax, где - оо<<в<оо, то получается теорема
непрерывности для характеристических функций.
Сформулируем теоремы, обратные к теореме Хелли -Брея, отдельно для
производящих функций, преобразований Лапласа - Стильтьеса и
характеристических функций.
Производящие функции. Пусть случайные величины п= 1, 2, ..., принимают
только неотрицательные целые значения и
Un(z) = E{z4 (2)
при |z|< 1. Если lim Un(z) = U (z) для z e D, причем z = 1 является
П-> oo
точкой накопления для множества D, и lim U {z)= 1, то равенство
Z~> 1
lim Pfen - k} = Pk, k = 0, 1, 2, ..., задает распределение веро-
tl~> оо
ятностей и
оо
2Pfezfe = tf(z) (3)
k-0
для |z|< 1. Функция U (z) однозначно определяется при |z|s^l посредством
аналитического продолжения и продолжения по непрерывности. (См. Феллер
[2].)
Преобразования Лапласа - Стильтьеса. Пусть случайные величины п= 1, 2,
..., принимают только неотрицательные значения и
Ф"(") = Е (4)
при Re(s)>0. Если lim cpn(s) = qp(s) для sgD, где s = 0 является
П~> оо
точкой накопления для множества D, и lim<p(s)=l, то сущест-
s О
вует такая функция распределения F{x), что lim Р {|" <1 х] = F (х)
П-> оо
для любой точки х, в которой F(x) непрерывна, и
