Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
(1930), 278-282.
[11] Гнеденко Б. В., Колмогоров A. H., Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин, Гостехиздат, М. - Л., 1949.
[12] Hartmann P., Wintner A., On the infinitesimal generators of integral
convolutions, Amer. J. Math., 64 (1942), 273-298.
[13] X и н ч и и А. Я., Новый вывод одной формулы П. Леви, Бюлл. МГУ,
сер. А, 1 : 1 (1937), 1-5.
[14] Хйнчин А. Я-, Zur Theorie der unberschrankt teibaren
Verteilungsgesetze, Матем. сб., н. с., 2 (44) (1937), 79-120.
[15] Kingman J. F. С., Recurrence properties of processes with stationary
independent increments, J. Austral. Math. Soc., 4 (1964), 223-228.
[161 Колмогоров A. H., Sulla forma generale di urn processo stochastico
omogeneo (Un problema di Bruno Finetti), Atti. R. Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 15 (1932), 805-808.
[17] Колмогоров A. H., Ancora sulla forma generale di un processo
stochastico omogeneo, Atti. R. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis.
Mat. Nat., Ser. 6, 15 (1932), 866-869.
[18] Levy P., Sur les integrates dont les elements sont des variables
ateatoires independantes, Annali della R. Scuola Normale Superiore di
Pisa, Ser. 2, 3 (1934), 337-366. (Замечание к предыдущей работе автора,
там же, 4 (1935), 217-218.)
[19] Levy P., Theorie de Taddition des variables atetoires, Monographies
des Probabilites, Paris, 1937.
[20] Лин ник Ю. В., Разложение вероятностных законов, изд-во ЛГУ, 1960.
[21] Л оэ в М., Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962.
ч [22] Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми приращениями,
изд-во "Наука", М., 1964.
210
Дополнение
[23] Wiener N., Differential space, J. Math. Phys. М. I. Т., 2 (1923),
131-174.
[24] Золотарев В. М., Первое достижение уровня и поведение в
бесконечности для одного класса процессов с независимыми приращениями,
Теория вероятн. и ее примен., 9 (1964), 653-662.
4. ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайные величины ?,, |2, •••> In называются переставляемыми, если все
п\ перестановок последовательности (|ь |2, In) имеют одинаковое
совместное распределение, т. е.
для всех п\ перестановок (iu i2> ..., /") последовательности (1, 2, ...,
ti) и всех {хи хъ ..., хп).
Мы будем говорить также, что величины |2, •••> 1п> ••• образуют
бесконечную последовательность переставляемых случайных величин, если .
.., для всех п = 2, 3, ... являются переставляемыми случайными
величинами.
Финетти [5 - 8] доказал, что свойство переставляемости для бесконечной
последовательности случайных величин эквивалентно свойству условной
независимости и условной одинаковой распределенности.
Теорема 1. Пусть (й, s&, Р) - вероятностное пространство, (со), n= 1, 2,
-бесконечная последовательность переставляе-
мых случайных величин. Тогда существует такая нетривиальная о-подалгебра
$ о-алгебры S&, что для всех п = 1, 2, ..., п и х1г х2, ..., хп
РЙ.ЫХх,, ..., = (2)
Г-1
с вероятностью 1.
Доказательство этого утверждения можно найти у Лоэва [14]. Е. Б. Дынкин
[3] доказал, что в этой теореме а-подалгебра $ порождается некоторой
случайной величиной 0 (со), т. е. с вероятностью 1
Р?,<*>.............^<^|0} = ПР{|.<^1 0). (3)
Г-1
Положим P{6i<*i, •••" = х2, ..., хп), P{?i<x |0 = y} =
= F(x\y) и Р {0 х} = Н (х). Тогда в силу (3)
оо
F(xu х2 хп) = J F (х, | у) F (х21 у) ... F(xn\ у) dH (у). (4)
, - со
Таким образом, бесконечную последовательность переставляемых случайных
величин можно реализовать как рандомизирован-
4. Переставляемые случайные величины
211
ную последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных
случайных величин. Теорема 1 позволяет применить слабый закон больших
чисел, сильный закон больших чисел и центральную предельную теорему к
переставляемым случайным величинам. Сформулируем сильный закон больших
чисел для переставляемых случайных величин. Теорема 2. Если Е{||1|}<оо,
то
с вероятностью 1. Доказательство можно найти у Лоэва [14]. Если G {х) -
функция распределения случайной величины E^l $}, то в силу (5)
Отметим в заключение, что совместную функцию распределения F{xu х2, ...,
хп) конечной последовательности случайных величин |i, |2> •••> im вообще
говоря, нельзя представить в виде (4).
[1] Buhlmann Н., Le problerne limite central pour les variables
aleatoires echangeables, C. R. Acad. Sci. Paris, 246 (1958), 534-536.
[2] Buhlmann H., Austauschbare stochastische Variabeln und ihre
Grenzwert-saetze, Univ. California Publ. in Statist., 3 (I960), 1-36.
[3] Дынкин E. Б., Классы эквивалентных случайных величин, УМН, 54 (8),
{1953), 125-134.
[4] d е Finetti В., Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio,
Atti. R. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 14
(1931), 251-299.
[5] d e Finetti B., Classi di numeri aleatori equivalenti, Atti. R.
Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 18 (1933), 107-
110.
[6] d e Finetti B., La legge dei grandi numeri nel casso dei numeri
aleatori equivalenti, Atti. R. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis.
