Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
И
P{>inf?(")= inf |(ыу)}=1 (5)
lie; Uj^I
для любого открытого интервала / сг [0, оо). В силу сепарабельности sup
?(ы) и inf 1(и) - случайные величины, принимающие,
не/ не;
возможно, и бесконечные значения, т. е. это измеримые функции.
Процесс {?("), 0 s^w<oo} всегда можно выбрать так, чтобы он был
центрированным. Тогда Р{?(" - 0) = |(ц) = ?(" + 0)} = 1 для всех ">0, т.
е. с вероятностью 1 процесс {?("), 0^"<оо} не имеет фиксированных точек
разрыва. Выборочные функции сепарабельного центрированного процесса со
стационарными независимыми приращениями обладают простыми свойствами в
смысле непрерывности (см. П. Леви [19] и Дуб [8]). Кроме, возможно,
некоторого множества выборочных функций нулевой вероятности, все они
ограничены на отрезке [0, f] для любого конечного /> 0, имеют лево- и
правосторонние предельные значения для любого 1>0 и все их разрывы
представляют собой скачки.
Броуновское движение, или винеровский процесс. Здесь приращения l(t) -
1(") нормально распределены, Е{?(0 + ?(")} = 0 и Е{[|(0 - |(")]2} = о2 U
- " |, где о - положительная константа, т. е.
= \е-У212йу (6)
I Vo*(t-u) J К2я J у w
- ОО
при i>u. Множеством значений параметра обычно служит луч (0, оо], причем
Р {?, (0) = 0}= 1. Этот процесс впервые рассматривал Башелье [1], а потом
более строго Винер [23]. Отметим, что здесь 'К (ш) = о2(о2/2.
Почти все выборочные функции сепарабельного процесса броуновского
движения непрерывны.
Пуассоновский процесс. Приращения |(f) - |(и) распределены согласно
закону Пуассона E{?(f) - ?(")} = A (f - и), где К - положительная
константа, т. е.
Р{i{t)-Uu) = k) = e-W-* [М'-")!*. (7)
при i>u и & = 0, 1, 2 В качестве множества значений параметра обычно
берется [0, оо) и предполагается, что Р{?(0) = 0}= 1. Впервые этот
процесс рассматривал Бейтмен [2, 3]. Здесь ^((0) = = Х(е~ш- 1).
Почти все выборочные функции сепарабельного пуассоновского процесса
являются неубывающими ступенчатыми функциями, и они возрастают только
скачками единичной величины.
208
Дополнение
Рассмотрим теперь центрированный сепарабельный процесс {?("), 0^и<оо} со
стационарными независимыми приращениями, для которого Р{|(0) = 0}=1 и
формулы (1) и (2) верны. С вероятностью 1 процесс {|("), 0^и<оо} не имеет
фиксированных точек разрыва. Пусть va(t) - число скачков в интервале (0,
t], величина которых больше а (> 0). Говорят, что в точке и скачок имеет
величину > а, если ?(и + 0) - Ци-0)>а. Процесс {va(7), 0^<щ) представляет
собой пуассоновский процесс, для которого
Аналогично, если v* (t) - число скачков в интервале (0, t], величина
которых не больше а (< 0), то {v'(f), 0 < ooj - пуассо-
новский процесс, для которого
Если {!("), 0 < ы < оо) - процесс со стационарными независимыми
приращениями и Р {?, (0) = 0} = 1, то
если математическое ожидание существует. Здесь р - константа (возможно,
равная ± оо).
На процессы со стационарными независимыми приращениями переносятся многие
теоремы о суммах взаимно независимых и одинаково распределенных случайных
величин. Приведем некоторые из них.
Слабый закон больших чисел. Если р - конечное число, то для любого е>0
т. е. сходится к р по вероятности.
Сильный закон больших чисел. Если процесс {?,(и), 0 ^ и< оо) сепарабелен
и число р конечно, то
т. е. сходится к р с вероятностью 1.
Доказательство можно найти у Дуба [8].
' Центральнаяпредельнаятеорема. Если Var {1(и)}=о2и существует и а2 -
конечная положительная константа, то
Е {va (/)} = t [А (оо) - N (а + 0)] = - tN {а + 0).
(8)
E{v;(/)} = /M(a + 0).
(9)
Е {!(/)) = р/,
(10)
(11)
(12)
3. Процессы со стационарными независимыми приращениями 209
Если процесс {?("), 0^"<оо} сепарабелен и Е{?(м)} = р" существует, то
Р{ sup ?(и)= ,оо} =
0^ н < ОО
1, если р ^ 0 и Р (и) = 0} Ф 1 для и > 0,
0, если р<0 или Р{?(и) = 0}=1 для и^О.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В а с h е li е г L., Theorie de la speculation, Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 3 (1900), 21-86.
[2] В a t e m a n H., On the probability distribution of a-particles,
Phil. Mag., Ser. 6, 20 (1910), 704-707.
[3] Bateman H., Some problems in the theory of probability, Phil. Mag.
Ser. 6, 21 (1911), 745-752.
[4] В a x t e r G., Shapiro J. М., On bounded infinitely divisible random
variables, Sankhya, Ser. A, 22 (1960), 253-260.
[5] Blum J. R., Rosenblatt М., On the structure of infinitely divisible
distributions, Pacific J. Math., 9 (1959), 1-7.
[6] Боровков А. А., О моменте первого перескока для одного класса
процессов с независимыми приращениями, Теория вероятн. и ее примен., 10
(1965), 331-334.
[7] Chatterjee S. D., Р a k s h i г a j a n R. P., On the unboundedness
of the infinitely divisible laws, Sankhya, Ser. A, 17 (1955), 349-350.
[8] Д у б Д. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.
[9] de Finetti В., Sulle funzioni a incremento aleatorio, Atti. R. Accad.
Naz. Lincei Rend. Cl. ISci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 10 (1929), 163-168.
[10] de Finetti B., Le funzioni caratteristiche di legge istantanea,
Atti. R. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6,. 12
