Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
2. Если /7(0) = 0, т. е. п= 1, 2, ..., - неотрицательные случайные
величины, то
оо
lim tS = (9)
Х->оо Х U
П*= 1
Эта теорема принадлежит Тэкли-нду [21].
3. Если g", п= 1, 2, ..., - не решетчатые случайные величины и Е{|"} =
а>0 (возможно, что а = оо), то
"=>i | 0 при х -> - оо.
при
2. Независимые и одинаково распределенные величины 205
Если п = 1, 2.............- это d-решетчатые случайные величины
и Е {?"} = а > 0, то
Теорему в этом виде доказал Блэкуэлл [4]. Частные случаи рассмотрели А.
Н. Колмогоров [19], Эрдёш, Феллер и Поллард [14], Блэкуэлл [3], Чжун Кай-
лай и Вольфовиц [10], Чжун Кай-лай и Поллард [9].
[1] Benes V. Е., A renewal limit theorem for general stochastic
processes, Ann. Math. Statist., 33 (1962), 98-113.
[2] В e r n о u 11 i J., Ars conjectandi (Opus posth.), Basileae, 1713.
[3] Blackwell D., A renewal theorem, Duke Math. J., 15 (1948), 145-150.
[4] Blackwell D., Extension of a renewal theorem, Pacific J. Math., 3
(19531, 315-320.
[5] В о r e 1 E., Les probabilites denombrables et leurs applications
arithmetiques, Rend. Circ. Math. Palermo, 27 (1909), 247-271.
[6] С a n t e 11 i F. P., Sulla probability come limite della frequenza,
Rend. R. Accad. Lincei. Ser. 5, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 26 (1), (1917),
39-45.
[7] С h u n g K. L., On the renewal theorem in higher dimensions, Skand.
Akt., 35 (1952), 188-194.
[8] Chung K. L., Fuchs W. H., On the distribution of values of sums of
random variables, Four papers on probability, Mem. Amer. Math. Soc., № 6
(1951), 1-12.
[9] Chung K. L., Poll a r d H., An extension of renewal theory, Proc.
Amer. Math. Soc., 3 (1952), 1-6.
[10] Chung K. L., Wolfowitz J., On a limit theorem in renewal theory,
Ann. Math., 55 (1952), 1-6.
11] D e Moivre A., The doctrine of chances, 3-е изд., London, 1756.
12] D e Moivre A., Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis,
London,
13] D о e b 1 i n W., Sur l'ensemble de puissances d'une loi de
probabilite, Studia Math., 9 (1941), 71-96.
14] Erdos P., Feller W., Pollard H., A theorem on power series, Dull.
Amer. Math. Soc., 55 (1949), 201-204.
15] Erdos P., К а с М., On certain limit theorems of the theory of
probability, Butl. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 292-302.
16] Feller W., Fluctuation theory of recurrent events, Trans. Amer. Math.
Soc., 67 (1949), 98-119.
17] Хинчин А. Я-, Sur la loi des grands nombres, C. R. Acad. Sci. Paris,
188 (1929), 477-479.
18] Колмогоров A. H., Sur la loi forte des grands nombres, C. R. Acad.
Sci. Paris, 191 (1930), 910-911.
19] К о л м о г о p о в A. H., Anfangsgriinde der Markoffschen Ketten mit
unend-lichen vielen moglichen Zustanden, Матем. сб., н. с., 1 (1936),
607-610.
20] L а р 1 а с е P. S., Theorie analytique des probabilites, Paris,
1812. (Oeuvres completes de Laplace, VII, Paris, 1886.)
21] Tackling S., Elementare Behandlung vom Erneuerungsproblem, Skand.
Akt., 27 (1944), 1-15.
22] T а с k 1 i n d S., Fourieranalytische Behandlung vom
Erneuerungsproblem, Skand. Akt., 28 (1945), 68-105,
при k ->
(П)
ЛИТЕРАТУРА
1730.
203
Дополнение
[23] Чебышев П. Л., Des valeurs moyermes, Liouv. J. Math. Pures et Appl.,
sir. 2, 12 (1867), 177-184. (Oeuvres I, St. Petersburg, 1907, pp. 687-
694.)
[24] Чебышев П. Л., Sur deux theoremes relatifs aux probabilites, Acta
Math. Petr., 14 (1890-1891), 305-315. (Oeuvres II, St. Petersburg, 1907,
pp. 481-491.)
3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СО СТАЦИОНАРНЫМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Пусть (?(и), 0 и < оо} - вещественный случайный процесс со стационарными
независимыми приращениями, т. е. для любых 0<*0<*i< ...<tn случайные
величины l(ti)-l(t0), l(t2)-l(t i), ... • • ¦> Е(^) - E(^-i) взаимно
независимы, а распределение величины - зависит только от t - и. Пусть
Р{|(0) = 0}=1. Тогда
Е{ег"^<"'} = е"'1Г("' (1)
для всех вещественных со и и ^ 0, а функция (со) в наиболее общем виде
равна
Чг(со) = гсос--^у-+ J (еш - 1 - dM (х) +
- ОО 00
+ J (<?*"*-1 -1!^)dN(x), (2)
+о
где с - вещественная константа, ст2 - неотрицательная константа, М(х), -
оо<х<0, и N (х), 0 < х < оо, - неубывающие функции от х, причем lim М(х)=
lim N(x) = 0 и
Х~> -оо Х~>оо
-О 1
J x2dM(x)+ jx2dN(x)<oО. (3)
-1 +0
Общую форму для (ш) нашел П. Леви [18]. В частных случаях функцию 'F(cd)
получили еще раньше Финетти [9, 10], А. Н. Колмогоров [16,17]. Другое
выражение для Д'(со) дал А. Я. Хинчин [13, 14].
Обратно, если выбрать с, о2, N(х), 0<х<°о, и М(х), - оо < <*<0, так,
чтобы они удовлетворяли приведенным выше условиям, то по теореме
Колмогорова о согласовании существует такой случайный процесс {?(u),
0^и<оо} со стационарными независимыми приращениями, что Р {?, (0) = 0} =
1 и формула (1) верна.
Согласно теореме Дуба [8], процесс {?("), 0 4^я<оо} можно считать
сепарабельным. Процесс {?("), 0<!и<оо} называется сепарабельным, если
найдется такая последовательность {";} значений параметра, что
...........Р(sup ё(м) = sup ?("/)}= 1 (4)
"е/ ujSl
3. Процессы, со стационарными независимыми приращениями 207
