Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
ожидание величины т] относительно обозначаемое Е{т]|$}, определяется как
произвольная функция от со, измеримая относительно $ и удовлетворяющая
условию
| E{r\\$}dP= | TjcfP (7)
в в
для всех 5е1. Из теоремы Радона - Никодима следует, что такая функция
существует и единственна с точностью до эквивалентности, т. е. любые две
такие функции равны почти всюду; рци могут отличаться лишь на со-
множестве нулевой вероятности.
202
Дополнение
Если ? = ? (to)-вещественная случайная величина, принимающая только
конечные значения, то Е {т) ] g} определяется как одна из функций Е {ц |
$}, где $ есть ст-поле, порожденное В этом случае Е (ц | У является
бэровской функцией от и мы будем использовать обозначение Е {ц 11 = х} =
Е {г) | у |? (а)=х.
Утверждение
оо
Е{т|} = J Efo|g = *}dP{?<*} (8)
- оо
называется теоремой о полном математическом ожидании.
Теорема Колмогорова о согласовании. Пусть(Q,^, Р) - вероятностное
пространство, а ?*(")> / е Г, -произвольное семейство вещественных
случайных величин. Тогда вероятности
^tv t2 tn (Х1' Х2' • • •> Хп) ~ ^ ^ Х\' %2 ^Л'2> - ¦ •> %tn ^ Хп}' (9)
определенные для произвольных конечных подмножеств (/], t2, .. . . ..,
tn)czT, называются конечномерными функциями распределения семейства
случайных величин ?<, t еГ. Эти многомерные функции распределения взаимно
согласованы, т. е.
FUe Ч, Чп (*"7 *7 • • ' ' Х0 = \ * ......*2' • 1 • ' *") ^
для любой перестановки (iu i2, ..., in) последовательности (1, 2....."),
и
^tv <J tn (XV X2< • • •' Xn)=' Ftv fs tm(Xl' XV ' • •' xm)
j-n+1, ..., m
для m = n+\, n +2, ....
A. H. Колмогоров доказал, что если для любых конечных подмножеств (tu t2,
.. ., tn) cz Т заданы функции распределения t t (xv x2> •*•> xn) и они
согласованы, то Ьуществуют такие
вероятностное пространство (Q, яф, Р) и семейство случайных величин (со),
t <е=Т, что для всех конечных подмножеств
(/i, t2, ..., tn) czT
P ^ xv ..., %n^ xn} = Ftv t2 tn (xv X2> • • •> Xn)" (^2)
ЛИТЕРАТУРА
[1] К о л м о г о р о в А. Н., Основные понятия теории
вероятностей, ОНТИ,
М. -Л., 1936.
[2] Л оэ в М., Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962.
[3] Н е в ё Ж., Математические основы теории вероятностей, изд-во "Мио" М
1969. ' "
2. Независимые и одинаково распределенные величины 203
2. НЕЗАВИСИМЫЕ И ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Говорят, что |1( ?2, •••> ?п> ••• образуют последовательность взаимно
независимых случайных величин, если
для п - 2, 3, ... и всех xh х2, ..., хп. Если случайные величины |2, ...,
... одинаково распределены, то Р {?" ^ х) - F (х) для
п= 1,2,------
Случайная величина называется решетчатой, если существует
обладающее этим свойством, то называется d-решетчатой величиной. Если же
такого d нет, то называется нерешетчатой величиной.
Далее будем предполагать, что |2, ¦•¦>&"> • • • - бесконечная
последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных
случайных величин с функцией распределения Р< х} = F (х), причем Е{?"} =
а и Var{?"} = 62, если они существуют. Положим Zn = 6i + h +. • • • + In.
п - I, 2, .... Приведем ряд теорем о таких случайных величинах.
Слабый закон больших чисел. Если Е{|?"|)<оо, то для любого е>0
т. е. ?,Jn сходится к а по вероятности.
Эту теорему доказал Бернулли [2] для случаев, когда Р{?" = 0) = </, Р{|"
= 1} = р (р + q = 1). П. Л. Чебышев [23] доказал ее при условии Ь2< оо. В
данной формулировке доказательство получил А. Я. Хинчин [17].
Сильный закон больших чисел. Если Е {| ?," |} < сю, то
т. е. ?,п/п сходится к а с вероятностью 1.
Эту теорему доказали для частного случая Р {?," = 0} - = Р {1п = 1} = 1/2
Борель [5], для случая Р {1п = 0) = q, Р {?" = 1} = р {р + q = 1) -
Кантелли [6], а для приведенного выше общего случая-А. Н. Колмогоров
[18].
Центральная предельная теорема. Если Е{?2}<оо,
P{il<*l, &2<*2, •••> &n<*n}=P{il<*l}P{!2<*2} ••• P{?"<*J (1)
оо
такое число d, что 2 Р fen = jd} = 1 • Если d - максимальное число,
/ = -°О
(2)
(3)
204
Дополнение
Муавр [11] и Лаплас [20] дали доказательство этой теоремы для случая Р{|"
= 0} = <7, Р{|"=1} = р, p + q=l, а для общего случая это сделал П. Л.
Чебышев [24].
Сходимость к устойчивому закону. Если F{0) = 0 и 1 - F{x) = h(x)x~a, где
0 < а < 2 - константа и lim h (cx)/h {х) = 1
*-*°о
для любой положительной константы с, то при а< 1
lim №<*}=Ga(x), (5)
Л->со I On У
а при а > 1
нтр{^<Л = еа(4 (6)
n-> ОО I °п У
где Ьп выбираются так, чтобы lim п[ 1 -F{bn)\ = 1, a Ga(x) - устой-
П-> со
чивая функция распределения, для которой
оо
| eizx dGa (х) = ехр| - | г |а (cos - г sin -y-sgnz) Г (1 - a)j. (7)
- оо
Эта теорема принадлежит Дёблину [13].
В заключение приведем три теоремы о рекуррентных свойствах
последовательности ?2> •••> Сп........
1. Если Е{|Е"|}<оо, то
( 1 при а ^ 0 и Р {?" = 0} ф 1,
**^<"<00^" °°^ [0 при а> 0 или Р{|" = 0}=1. ^
При а ф 0 это утверждение следует из сильного закона больших чисел, а при
а = 0 и Р {?" = 0} ф 1 из одной теоремы Чжун Кай-лая и Фукса [8].
