Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
время, преобразованное время) и = и (т):
X
и = J X (v)dv, (1)
о
где X - положительная константа. Если тогда обозначить через % (и) общую
страховую сумму, выплаченную в интервале (0, и], то (и), 0 ^ ц < оо}
будет стохастическим процессом со стационарными независимыми приращениями
и функцией распределения
оо
р й(и)<х}^е-^-^р-Нп(х), (2)
О
где Нп{х) есть п-я свертка функции Н(х); Н0(х)= 1 при и
Н0 (х) = 0 при х < 0. Процесс (и), 0 ^ и < оо) - это обобщенный
пуассоновский процесс.
Если интеграл
оо
a - J xdH(x) (3)
-оо
существует, то общая средняя страховая сумма, выплачиваемая компанией в
интервале (0, и], равна
Е fie (и)} = Хаи.
(4)
160
tл. f. Процессы разорении
В условиях частного бизнеса накопленная чистая страховая премия (премии
за вычетом выплачиваемой ренты) в интервале (0, и] равна Каи. Если
применяются также ценные страховые премии, to общая страховая премия
равна (Ка + Ь)и, где Ь>0 при а>0 (например, в случае положительных
страховых премий) и КО При а<0 (например, в случае отрицательных
страховых премий).
Предположим, что в момент и - 0 компания располагает начальном капиталом
х для покрытия потерь из-за случайных флуктуаций. Тогда резервный фонд в
момент и равен
у (н) = * + си - % (и) (5)
для 0 и < оо, где у (0) = х - начальный резервный фонд в момент и = 0, а
с - константа.
Одна из основных задач в теории разорения состоит в определении
вероятности разорения, т. е. вероятности того, что резервный фонд когда-
нибудь станет отрицательным, или, более точно, вероятности того, что
разорение произойдет до момента t.
Обозначим через момент времени, когда впервые резервный фонд становится
отрицательным в интервале (0, с"), т. е.
0* = inf{": y(w)<0 Для 0 <"<">} (6)
и 0j. - со при y(")^0 для н^О.
Тогда вероятность того, что разорение произойдет в интервале (0, /],
равна
P{0*<O= 1 "Р{ sup [2(м)-сы]<*}, (7)
о
а вероятность того, что разорение когда-нибудь произойдет, равна
Р{0,<°°}=1-Р{ sup [% (и) - си] < х}. (8)
и < оо
Если вероятности P{0*<°o} и Р{0_*^/} известны, то можно принять меры
предосторожности (увеличение премии, перестрахование и т. д.),
позволяющие уменьшить вероятность разорения настолько, чтобы оно было
практически невозможно.
Обозначим
W{t,x)=* Р{ sup К(м)-си]<^} (9)
0<и"
И
W(x) = P{ sup [2 (ы) - си] < х}. (10)
0<и< оо
Большинство исследований посвящено нахождению функций распределения W
(я), W (/, х) и их асимптотик при больших значениях X.
§ 35. Процессы разорения в страховом деле
161
Положительные страховые суммы
Предположим, что страховая компания выплачивает только положительные
страховые суммы, т. е. Н{х) = 0 при х<0. Тогда %{и) = %(и) при ы^О, где
теперь {%(и), 0 <и< оо} - обобщенный пуассоновский процесс, для которого
оо п=О
и при Re (s) ^ О
Е{е-"<">) = е-"фМ, (12)
где
Ф Cs) = Л [ 1 - гр (s>), (13)
а -ф (s) - преобразование Лапласа - Стильтьеса функции Н (х). Если
оо
а= J xdH(x), (14)
о
то Е(%(м)} = р", где р = Аа. Если же
оо
o2a=j(x~afdH(x) (15)
О
то Var{%{и)} = о2и, где а2 = А(а2 + а2).
Здесь с - положительная постоянная, причем выбором денежной единицы можно
достичь того, чтобы <7=1. Наша задача свелась к нахождению функции
W(t, х) = Р{ sup М")-"]<*} (16)
о <"<*
для конечных значений t, а также функции
Ц7(х) = Р{ sup [%(и) - и] <х). (17)
0<"<оо
А это можно сделать с помощью теорем § 15.
По теореме 1 § 15
W(t, *) = Pfa(0<* + *}-
" j j (73f)^P{oc(l/Xl/ + 4dzP{oc(/-"/)<2-y} (18)
И
W{t, 0)= J(l-f)d,P{x(O<0. (19)
162
Гл. 7. Процессы разорения
Если положить
ОО
Q{t, s)= | e~sxdxW{t, x) (20)
0
для Re(s)^0, то по формуле (14) § 15
oo
s)rf<--_Jw(l-^) (21)
0
для Re (z) > 0, где s = ю (z) - единственный корень уравнения
CD(s) = s - z в области Re(s)^0. Обращая формулу (21),
получаем
W(t, х).
Если р< 1, то по теореме 3 § 15
оо
W {х) = 1 - (1 - р) |^Р{х(у)<У + а:} (22)
+°
для всех х. Если х<0, то W (х) = 0 и Ц7(0)=1 - р. Если р^1, то W {х) = 0
для всех х.
Если р<1, по теореме 4 § 15 для Re(s)>0
оо
Q (s) = { e-^dW(x) = . (23)
о
Обращая эту формулу, получаем W (х).
В силу теоремы 9 § 29 при р > 1 и а2 < оо
I 0*~Т=Т 1 1 г
lim Р | г =- I = - Г e~y'l2dy. (24)
I Ya х/(р - 1) I YYY J * v '
- оо
Пример 1. Если
Н{х) =
то ф(э) = е-5а, Ф (s) = Л (1 - e~sa), р = Ха, а2 = Ла2 и
-Р Ыи) = ак) = е-^^~ (26)
для k = 0, 1, 2, .... Формула (18) тогда дает W{t, x)=P{y>{t)^t + x}~
= (тЙ^) V{%(aj-x) = aj}P{%{t + x-aj) = a(k-j)}, (27)
x<aj<;ak<:t+x
1 для х ^ а, 0 для х < а,
(25)
§ 35. Процессы разорения в страховом деле
163
а формула (19) -
W(t, 0)= 21 (l --^)Р{х(0 = аЛ- (28)
0 <а/<*
Если р = Яа<1, то, обращая (23), получаем
[л/а]
Г(х) = (1 -Яа)2]е~Я(а/~^ [Я (а/~*)]' . (29)
/=о
Пример 2. Если
( 1 - е-1ис для х^О,
Н(х) = \ . (30)
I 0 для л; < О,
то ф (s) = р/(р + s), Ф (s) = ЯяДр + s), р = Я/p и <т3 = 2Я/p2,
Кроме
того, Р{х(м) = 0} = е~ки для к^О и
дР ^ ^ ^ ^ = K\iue~ku~>lxJ' (Яр"х) (31)
для и > 0 и л: > 0, где
сю
/w=21w (32)
("!)2 п=0
- функция Бесселя. Тогда W{t,x) =
