Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
"число" интегралов движения /", содержащихся в pL(k), равно "половине
размерности" фазового пространства и что эти интегралы являются
функционально независимыми.
Однако в квазипериодическом случае реализация этих соображений и, в
особенности, построение переменных типа углов (движение вдоль которых
линейно) требует привлечения анализа на римановых поверхностях (в общем
случае бесконечного рода) -аппарата, выходящего за рамки этой книги.
Поэтому мы не будем продвигаться дальше в изучении квазипериодического
случая, используя его лишь для отработки основных конструкций, связанных
с r-матрицей (см. § 3-5). Напротив, в быстроубывающем случае и для
граничных условий конечной плотности мы до конца исследуем вопрос о
полной интегрируемости и, явно построим соответствующие переменные типа
действие - угол.
§ 3. Вывод представления нулевой кривизны
из фундаментальных скобок Пуассона
Здесь мы покажем, в каком смысле существование фундаментальных скобок
Пуассона заменяет условие нулевой кривизны. Более точно, по заданной r-
матрице и матрице U(x, к) мы построим набор матриц Vn{x, Я), участвующих
в представлении нулевой кривизны для высших уравнений НШ - уравнений
движения, порожденных интегралами При этом, как и в § 2, мы ограничимся
пока случаем квазипериодических граничных условий.
Рассмотрим производящие уравнения движения
^ = {Pl(p), Ф}, Я. = {Рь(р),щ (з.1>
01 ot
для всех высших уравнений НШ. Здесь
Pl (у) = arccos Fl (р). (3.2)
а ц играет роль параметра. Покажем, что уравнение (3.1) эквивалентно
условию нулевой кривизны
(*• *•) - (х, k, р) + [ U (х, k), V (х, к, р) ] = 0, (3.3)
выполняющемуся при всех к (где мы, для сокращения записи, опустили
зависимость от t), и дадим явное выражение для матрицы V(x, К, р).
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ И /'-МАТРИЦА 185
Вычислим матрицу скобок Пуассона {Т(х, у, р)($U(z, Я)},
у
где -L<Cy<z<x<L. По аналогии со вторым выводом формулы (1.20), используя
(1.18), (1.36) и очевидное равенство
=6А6(г-г'), (3.4)
бUcd (г , X)
где баь-б-символ Кронекера, имеем выражение {Т (х, у, р) (r) U (г, X)} =
(Т(дг, г, р) (r) I) х
х [г (р - К), U (г, р) (r) / + / (r) U (г, X)] (Т (г, у, р) (r) I). (3.5)
В нем участвует матрица 4X4
M(z, х, у; К, р) = (Т(х, z, р)(r)/)7'(р-X) (T(z, у, р)(r)/), (3.6)
входящая в (3.5) посредством коммутатора с матрицей /(g) (r)U(z, X). Для
преобразования оставшихся слагаемых с матрицей U(z, р)(r)/ в правой части
(3.5) воспользуемся дифференциальными уравнениями (1.39) и (1.31) для
Т(х, z, р) и Т(z, у, р) соответственно. Мы получим, что эти слагаемые
дают выражение - M(z, х, у: X, р). Таким образом, окончательно имеем dz
следующее равенство:
{Т (х, у, р) (r) U (г, Я)} =
= -^-М (г, х, у, X, р) + [ М (г, *, у,X, р), / (r) U (г, X) ]. (3.7)
dz
В дальнейшем, помимо обычного матричного следа tr, мы будем также
использовать операцию tii-матричный след по первому сомножителю в
тензорном произведении С2(r)С2. Она переводит матрицы в С2 (r) С2 в матрицы в
С2 и определяется по линейности из соотношения
trl(A(r)B)=trA-B, (3.8)
где А и В - матрицы в С2. Операция tr, характеризуется свойствами
tri(I(r)A)X = A-tri X, (3.9)
tr 1Х{1(r) A) = tr1X-A, (3.10)
МЛ(r) /)Х = Ьт*(Л(r) /), (3.11)
где А - матрица в С2, а X - в С2 (r) С2.
Умножим теперь обе части равенства (3.7) справа на матрицу Q(0)(r)/,
возьмем след trj и перейдем к пределу при л
186 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
z/->-L. Используя свойства (3.9) - (3.10), получим соотношение {Fl (ii);
U (х, Щ = (х, А, и) + IV (лг, Я, и), U (х, А)], (3.12)
где
F(x, А, /х) = trj(Af (лг, L, - L; A, р) (Q(0) (r)7)) (3.13)
и мы заменили переменную z на х, -L^.x^.L. При этом левая часть (3.12)
представляет собой матрицу 2x2, составленную из скобок Пуассона
функционала Fl(\i) с матричными элементами матрицы U(х, А).
Выражение для матрицы V(х, А, р) можно упростить, используя явный вид
матрицы г (А) -формулу (1.19). Имеем
V {х, А, Ю = - JL- tri ((Г (L, х, р) (r) /) Р (Г (х, - L, p)Q (0)(r) /)) =
А - р
= -1- trx (Р(Т (х, -L, u)Q(0)r(L, дг, р)(r)/))=
А - р
= т~- tr, ((/ (r)Т(Х,- L, р) Q (6) Т (L, лг, Р)) Р) =
А - [-1
= Г (х, - L, р) Q (9) Т (L, х, р). tr, Р, (3.14)
А [А
где мы воспользовались свойствами (3.11), (1.10) и (3.9). Далее, из
явного вида матрицы Р - формулы (1.11) -следует, что
lr,P = /, (3.15)
откуда для матрицы F (х, А, р) получаем представление
V (х. А, р) = Т (.х, - L, р) Q (9) Т (L, х, р). (3.16)
А - и
Покажем теперь, что матрица F(x, А, р) удовлетворяет условию
квазипериодичности
V{x + 2L, А, р) = Q-1(9)F(х, A, p)Q(0). (3.17)
Следуя рассуждениям предыдущего параграфа, мы сравним
матрицы F (х, А, р) при х = Ь и х=-L. Имеем
V (L, А, р) = -^- 7Д (р) Q (0) (3.18)
А - JJ,
и
V (- L, А, р) = ~- Q (0) 7Д (р), (3.19)
А - JJ,
так что
F(L, А, р) = Q-i(0)F(-L, A, p)Q(0). (3.20)
Это равенство вместе с гладкостью матричных элементов матрицы F(x, А, р)
при -L<x<.L и обеспечивает возможность ее
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ И /--МАТРИЦА
