Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
175
где
Л(Я) = _^Р. (1.19)
Л
На первый взгляд эта формула представляет собой лишь более громоздкую
запись основных скобок Пуассона (1.14). На самом деле, как мы убедимся в
этом ниже, приведенная формула является универсальным свойством матриц
U(x, А,), участвующих в представлении нулевой кривизны для всех моделей,
рассматриваемых нами в дальнейшем. Оно же, как мы убедимся, лежит в
основе самого свойства интегрируемости и допускает естественную ли-
алгебраическую интерпретацию. Поэтому набор соотношений (1.18) будем
называть фундаментальными скобками Пуассона.
Сейчас мы убедимся, что из (1.18) немедленно следуют соотношения для
скобок Пуассона матричных элементов матрицы перехода, имеющие вид
{Т (х, р, Л) (r) 7 (х, у, р)} = [ г Q, - р), 7 (х, рД) (r) 7 (х, у, р) ],
(1.20)
"
где -L <р<х<Д.
Мы дадим два вывода этого соотношения. Один использует определение
матрицы 7(х, у, к) как мультипликативного интеграла через предельный
переход (см. § 1.2), а другой - через дифференциальное уравнение (см. §
1.3).
Начнем с первого подхода. Разобьем интервал (у, х) на N интервалов Д", п=
1, ..., N, и будем считать, что Д - максимум длин Дп-исчезает при Лг->-
оо. Тогда в соответствие с (1.2.34) - (1.2.16) имеем
Т(х,рД)-=Пш TN(k), (1.21)
jV-* оо
где
Jr-\
N
7л-(А) = ГГ Ln(A) (1.22)
a=i
И
Ln(k) = I 4- $?/(хД)Лх. (1.23)
An
Заметим теперь, что в силу (1.18)
{L"(^)0Lm(p)} = O (1.24)
"
при пфпг.
176
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Действительно, при вычислении {Ln(r)Lm} возникает исчезающий интеграл ^ J
S(x-y)dxdy.
дга дт
Для данного рассуждения очень существенно, что в фундаментальных скобках
Пуассона (1.18) участвует только обобщенная функция 6(х-у), а не ее
производные. Это важное свойство матрицы U(х, Я) вспомогательной линейной
задачи будем называть ультралокальностью.
Из формул (1.22), (1.24) и свойства (1.7) получаем, что
Тх (Я) (r) Ту (р)} =
х
= 2 (r) Т- 0-0) {Ln (Ц 0 Ln 0-0} (Тп-1 (А) 0 Тп-1 (u)), (1.25)
П=1
где
п ^ N
ГДЯ)=]~[ (а). Тп (А) = Ц Lk (А). (1.26)
*=1 *=/г+1
Далее, из фундаментальных скобок Пуассона получаем, что {Ln (Я) 0 Ln (р)}
= К U (х, Я) dx 0 ^ U (х, р) dxj -
1дга дга j
л(Я - р), J U(x, X)dx(r)I+I<3> §U(X, p)rfjc] , (1.27)
откуда имеем
{Ln (Я) (r) Ln (р)} = [г (Я - р), Ln (Я) 0 Ln (р)1 + О (А2)- (1.28)
Используя свойство коммутатора как дифференцирования по отношению к
произведению, на основании (1.28) заключаем, что
{TN (Я) 0 Тх (р)} = [г (Я - р), Тх (а) 0 Тх (р)1 + О (Л/Д2). (1.29)
Переходя в этом равенстве к пределу N-+oc и учитывая, что N А = 0(1),
получаем соотношение (1.20).
Для второго вывода заметим, что матрицу Т(х, у, Я) можно рассматривать
как матрицу-функционал от матричных элементов U(z, Я) при -L<y^.z^x<L.
Используя формулу дифференцирования сложной функции, из (1.1) получаем
§ I. СКОБКИ ПУАССОНА И л-МАТРИЦА 177
соотношение
{Tab {X, у, Я), Ted (Х, у, р)} =
г- , 6ТаЬ(х, у, X) ьтсй (г, у, р)
= ~ТГГТ " (2' ^/т (г ' V)} ,,, ^ - (1 -30>
J J 6Uik (г, Я) бUlm (г , р)
и и
где по повторяющимся индексам /, k, I, m подразумевается суммирование от
1 до 2. При этом мы имеем в виду, что для определения 6Т у' ^ при
вариации матрицы-функционала' бU (z, X)
Т(х, у, Я) к матрице специального вида U(z, Я) прибавляется; матрица
общего вида бU(г, Я).
Далее, варьируя дифференциальное уравнение
^(х,у,к) = и(х,к)Т(х,у,к) (1.31>
дх
для матрицы перехода (см. § 1.3) с начальным условием
Т(х, У, Я) | *=" = /, (1.32)
приходим к уравнению
f бТ (х, y,k) = U (х, Я) бТ {х, у, Я) + бU {х, Я) Т (х, у, к) (1 -33)'
дх
с начальным условием
бГ(х, у, Я)|1=и = 0. (1.34)
Непосредственно убеждаемся, что решение задачи (1.33) -
(1.34) имеет вид
х
б Т (х, у, к) = ^Т (х, г, к) 6U {г, к) Т {г, у, Я) dz, (1.35)-*
у
откуда получаем, что
ЬТаЪ (х, у, X)
бUjk (г, X)
= Та1 (х, z, к) Тkb (г, у, Я). (1.36)
Подставим теперь эту формулу в выражение (1.30). Мы получим соотношение,
которое снова запишем в инвариантном виде:
{Т (х, у, к) (r) Т (х, у, р)} =
X X
= j j (Т(х, 2, Я) (r) Г (х, z', р)) {U (г, Я) (r) U р)}х
У У
* (Т (2, у, Я) (r) Т (г', у, р))dzdz'. (1.37>
178
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Используя фундаментальные скобки Пуассона, получаем отсюда
X
{Т (а, уА)(r)Т (х, у, и)} = j (Т (х, z, к) (r) Т (х, z, р)) х
У
х [ г (к- р), U (z, Я)(r)/ -f I&U (г, у) ] (Т (г, у, X) (r) Т (г, у, р)) dz.
(1.38)
В коммутаторе в правой части равенства (1.38) матрицы U(z, к) и U{г, р)
стоят слева или справа соответственно от матриц T(z, у, к), Т(г, у, р) и
Т(х, z, к), Т(х, z,- р). Используя дифференциальные уравнения (1.31) и
Ц- {х, у, к) = - Т (х, у, к) U (у, к), (1.39)
дУ
убеждаемся, что подынтегральное выражение в (1.38) представляет собой
полную производную по z от произведения
(Т(х, z, к)(r)Т(х, z, y))r(k-y)(T(z, у, к) (r)Т(z, у, р)).
Интегрируя с учетом начального условия (1.32), получаем соотношение
(1.20).
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний по поводу
полученных формул.
1. Отнюдь не произвольная матрица г(к) может играть роль 'классической г-
