Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
приведенный в § 5, взят из работы [4.9].
33) Построение семейства функционалов /" и иерархии согласованных скобок
Пуассона { , }<&), данное в § 5, восходит к работе [4.53] (см. также
[4.17]). '
34) Для модели МГ также имеются Л-оператор и иерархия пуассоновых
структур. Соответствующая вторая скобка Пуассона { , }(i> получается из
скобки Ли - Пуассона
{Se(jr), S6(y)}(1) =j8ab8' [х-у) (6.11)
редукцией на орбиту S2(x) = l; возникающий Л-оператор совпадает с
приведенным в работе [4.46].
35) Общая ли-алгебраическая схема из § 4 также приводит к интересным
результатам, если в качестве алгебры Ли g взять алгебру векторных полей
на окружности и рассмотреть центральное расширение алгебры ЛиС(д) при
помощи 2-коцикла Гельфанда - Фукса [4.6], приводящее к алгебре 6и-
502
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
расоро. В частности, вторая пуассонова структура с Л-оператором для
уравнения КдФ совпадает с соответствующей скобкой Ли-Пуассона [4.32].
36) Связь между основной и второй пуассоновыми структурами для уравнения
КдФ устанавливается известным преобразованием Миуры [4.54]. Обобщение
этого факта на уравнения в алгебре символов, связанные с
дифференциальными операторами старших порядков, дано в работе [4.11].
Именно, по каждой аффинной алгебре Ли строится серия уравнений типа
модифицированного уравнения КдФ и несколько серий уравнений типа КдФ,
причем их решения связаны обобщенным преобразованием Миуры. Структура
преобразования Миуры определяется диаграммой Дынкина аффинной алгебры Ли
[4.12].
37) Другой подход к классификации интегрируемых уравнений в a priori
заданной функциональной форме предложен в работе [4.211, в которой
используются классические методы теории преобразований Ли - Бэклунда.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Это заключение предназначено читателю, который прочел книгу до конца. Мы
надеемся, что чтение основного текста и комментариев к отдельным главам
убедительно показало ему, насколько тематика, связанная с солитонами н
интегрируемыми уравнениями в частных производных, богата с математической
точки зрения как идейно, так и технически. Действительно, в методе
обратной задачи естественно переплелись различные области математики:
дифференциальная геометрия, теория групп и алгебр Ли и их представлений,
комплексный и функциональный анализ. Все они служат одной цели -
классификации интегрируемых уравнений и описанию их решений. В результате
такие традиционные разделы этих областей, как гамильтонов формализм.
аффинные алгебры Ли или задача Римана, проявили себя в новом свете. Более
того, развитие метода обратной задачи привело к новым задачам и новым
структурам в этих областях. Достаточно напомнить общее понятие r-матрицы
и его интерпретацию с гамильтоновой, теоретико-групповой и аналитической
точек зрения. В этом и отражается современная тенденция в математике,
когда на первый взгляд мало связанные теоретические области объединяются
и взанмообогащаются при решении конкретных задач, имеющих важные
физические приложения.
Еще в большей степени эта тенденция проявляется при обобщении методов,
изложенных в этой книге, на модели квантовой механики и теории поля. Это
обобщение активно развивалось в последние годы. Объединяющим объектом
явилась опять (квантовая) Д-матрица. Мы надеемся, что это направление
вскоре будет отражено в монографии, подобной данной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
1. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега - де Фриса - вполне
интегрируемая гамильтонова система.- Функц. анализ и его при-лож., 1971,
т. 5, № 4, с. 18-27.
2. 3 а х а р о в В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной
самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах.-
ЖЭТФ, 1971, т. 61, № 1, с. 118-134.
3. Захаров В, Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаев-ский Л, П. Теория
солитонов. Метод обратной задачи./Под ред. С. П. Новикова.- М.: Наука,
1980.
4. Изергин А. Г.. Коре пин 'В. Е. Квантовый метод обратной задачи.- ЭЧАЯ,
1982, т. 13, № 3, с. 501-54.1.
5. Ко репин В, Е., Фаддеев Л, Д. Квантование солитонов.- В кн.'. Физика
элементарных частиц, (Материалы XII Зимней школы Леиингр. ин-га ядерной
физики.) - Л., 1977, с. 130-146.
6. Кулиш П. П., Склянин Е. К. О решениях уравнения Янга - Бакстера.- В
кн.'. Дифференциальная геометрия, группы Ли н механика. 111. Зап. науч.
семин. ЛОМИ, 1980, т. 95, с. 129-160.
7. Т а х т а д ж я н Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи
и ATZ-модель Гейзенберга.- УМН, 1979, т. 34, № 5, с. 13-63.
8. A b 1 о w 11 z М. J,, Segur Н. Solitons and the Inverse Scattering
Transform.- SIAM, Philadelphia, 1981.
9. Bui lough R, K., Caudrey P. J. (editors). Solitons.- Berlin-New York:
Springer, 1980, (Русский перевод: Буллаф P. К., Кодри П. Дж. Со-литоны,-
М.; Мир, 1983.)
10. С а 1 о g е г о F. (editor). Nonlinear Evolution Equations Solvable
by the Spectral Transform.- Research Notes in Mathematics, v, 26, London:
Pitman, 1978.
11. Calogero F" Degasperis A. Spectral Transform and Solitons. volume I.-
