Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
связывает ли-алгебраиче-ский подход к интегрируемым уравнениям с теорией
конечнозонного интегрирования и уравнениями Новикова [4.14], [4.22].
23) "Включение" зависимости от х можно рассматривать как "двумери-зацию"
конечномерных интегрируемых систем. Так, например, имеется естественная
двумеризация периодических моделей Тода [4,20]; двумеризация волчков
приводит к системам типа матричной модели Sine-Gordon (см. § 1.8).
500
ГЛ. IV. Л И-алгебраический подход
24) Если в уравнении нулевой кривизны
dU dV
,,_0 (6.,)
зависимость от t отсутствует (стационарный случай), то оно приобретает
лаксов вид по отношению к матрице V(х, А.):
dV
(6-5)
Ли-алгебраическая схема дает простую интерпретацию введенной в [4.4],
[4.7] пуассоновой структуры для таких стационарных уравнений: она
совпадает со скобкой Ли - Пуассона для конечномерной орбиты, проходящей
через элемент V(x, А.) [4.27], [4.44]. Кроме того, можно рассмотреть
совместную систему высших уравнений (6.4)
dU дУп
^-^ + [^] = 0> (6'6>
где для каждого уравнения введена своя временная переменная tn (так что
t=tN, V-Vn\ для модели НШ N=3). Ввиду совместности системы (6.6) матрицы
Vn(x, 11, ..., А,) удовлетворяют также уравнениям
dVn dVk
-^--^ + [^] = о. <6'7>
д
Отсюда на многообразии стационарных решений (- = 0) возникает совмест-
dt
ная система уравнений
dV
(6.8)
- уравнений Новикова, которые также являются гамильтоновыми по отношению
к той же скобке Ли - Пуассона на орбите [4.27], [4.44].
25) Утверждение о том, что разные коциклы озр приводят к различным
пуассоновым структурам { , }р, обслуживающим одну и ту же серию
интегрируемых уравнений, содержится в работе [4.18].
26) Уравнения (6.6) являются гамильтоновыми и плотности hn(x, 11, ...) их
гамильтонианов на решениях уравнений движения удовлетворяют соотношениям
dhn dpkn
"г "IT- (6'9)
где pkn (х, ti, ...)-плотности гамильтонианов для уравнений (6.7).
Плотности hn можно выбрать таким образом (добавляя к ним, если
необходимо, полные производные), что они и р" порождаются производящей
функцией т(х, ti, . ..) в следующем смысле:
д2 dt" dx
(6.10)
hn = ln т-
к д2 ;
р" = In т
" dtkdtn
§ 6, КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
501
[4.27J, [4.44-4.45]. (В случае модели НШ плотности h" следует выбирать
согласно формуле (III.5.42) в части 1.) Функция т совпадает с известной
т-фуикцией из работы японских авторов [4.40], которые вводили ее, исходя
из теории представлений аффинных алгебр Ли. Первоначально т-функция в
частном случае была определена в работе Р. Хироты [4.47] как решение
некоторой системы билинейных уравнений (уравнений Хироты). Эти уравнения
получили естественную интерпретацию в терминах теории представлений
аффинных алгебр Ли [4.40], [4.48]. Другой подход к т-функции, основанный
на аналитических свойствах решений уравнения вспомогательной линейной
задачи, был предложен в работе [4.59].
27) Общая ли-алгебранческая схема из § 4 может быть применена не только к
алгебре токсв, но и к алгебре символов псевдодиффереициальиых операторов
[4.19], [4.36]. В результате пуассоновы структуры, введенные в
[4.7], получают естественную интерпретацию. Процедура двумеризации,
использующая 2-коцикл Маурера - Картана, в этом случае приводит к
уравнениям типа Кадомцева - Петвиашвили [4.28].
28) Естественное объяснение поведения скобок Пуассона при одевающих
преобразованиях основано на теории пуассоновых групп Ли. Именно,
одевающие преобразования являются пуассоновыми относительно некоторой
пуассоновой структуры на группе Ли Co(G) [4.60]. Инфинитезимальиые
одевающие преобразования можно также определить и прямыми методами.
Реализующие их векторные поля часто сопоставляют со "скрытыми
симметриями"; они описаны в обзоре [4.42]. (Заметим, что эти векторные
поля, вообще говоря, не гамильтоновы [4.60].)
29) Важным классом одевающих преобразований, которые могут быть заданы в
явном виде, являются так называемые преобразования Бэклунда, введенные
Бэклундом для уравнения Sine-Gordon [4.38] и часто встречающиеся в
современной литературе по методу обратной задачи и теории соли-тонов
[4.55].
30) Формуле (5.16) можно придать строгий смысл, если рассматривать для
быстроубывающих граничных условий группу токов ^((G)) с треугольными
асимптотиками при х->-±оо (сравни с соответствующими формулами для
асимптотик матриц G±(x, t, X) из § II.1 части I). Инварианты копри-
соединенного действия в этом случае совпадают с минорами приведенной
матрицы монодромии Т (Я) (т. е. с коэффициентом а (Я) для модели НШ).
31) Утверждение о том, что скобка Пуассона { , }(i> получается редукцией
по Дираку [4.41] из скобки Ли - Пуассона { , }-i, содержится в работе
[4.24].
32) Понятие согласованных скобок Пуассона было введено в работе [4.53] и
подробно изучено в [4.9-4.10] (отметим, что тождество Якоби для скобки
Пуассона { , }<а> при всех а вытекает из тождества Якоби при одном
значении а^0). Вывод тождества Якоби для скобок Пуассона { , }(х),
