Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
флуктуационно-дисси-пационная теорема, т. е. выведено линейное ФДС
второго рода. Последний результат служит развитием и обобщением формулы
Найквиста, полученной в 1928 г. [38]. Доказательство ФДТ можно найти во
многих учебниках, например, в [19, 29, 30]. Линейная ФДТ и формула Кубо
нашли многочисленные применения.
Квадратичные ФДС второго рода были получены в 1968 г. Ефремовым [17].
Интересно отметить, что попытка вывести одно из квадратичных ФДС была
предпринята еще в 1959 г. (формулы (128)-(130) из [1]).
В работе [48] был предложен другой способ записи основного квадратичного
соотношения и упрощен способ его вывода. Там же было доказано, что
аналогичной формулы, по которой четвертый момент выражается через
соответствующий адмитанс, не существует. Это значит, что четвертый момент
(а также коррелятор) должен содержать диссипационно-неопределяемую часть.
Влияние этой части исследовалось в [59]. Ряд квантовых нелинейных
соотношений, которые не приведены в данной книге, читатель может найти в
[3].
Нелинейные ФДС первого рода здесь рассматриваются впервые. Нелинейные
соотношения третьего рода, т. е. соотношения типа формулы Найквиста,
выведены в [54, 55].
Глава 5
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ НЕМАРКОВСКИХ ФДС
§ 22. Методы расчета многовременных
равновесных корреляторов и их производных
в марковском случае
1. Двухиндексный и трехиндексный адмитансы в марковском случае. В §§
11 и 13 были изложены методы нахождения прибли-женного оператора
кинетического уравнения по феноменологическим релаксационным уравнениям в
марковском случае. Решая это кинетическое уравнение, в принципе можно
рассчитать двойные, тройные и четверные многовременные корреляторы, как
равновесные, так и неравновесные, соответствующие различным начальным
условиям. Однако методика вычисления многовременных равновесных
корреляторов или соответствующих спектральных плотностей может быть
упрощена и унифицирована путем применения немарковских ФДС, которые,
разумеется, применимы и к марковскому случаю. Например, при помощи
релаксационных уравнений можно найти различные адмитансы, а по ним уже
получить корреляторы, применяя немарковские ФДС второго рода (§§ 17, 18).
Используем этот метод для получения двойных и тройных корреляторов.
Феноменологические релаксационные уравнения в приведенной форме (Г1.5) в
линейно-квадратичном приближении имеют вид
Аа == 1а, р-^Р "Ь Va^a, Py^p-^V' (^'1)
где Хр = 3F (А)1дАр. В данном приближении свободную энергию достаточно
брать в форме
F {А) = 1/2ГарАаАр -f VeSap^a^p^v + C011st (22'2)
(положено Л° = 0, т. е. начало координат помещено в равновесную точку
Л°).
Применяя к уравнению (1) гипотезу простейшего включения внешних сил
(19.7), которая, как показано в § 19, приводит к полному согласованию ФДС
второго рода с ФДС первого рода и, следовательно, с марковскими ФДС,
получаем
Аа = la, р (*а - h) + V^a, Pv (*Р " Лр) (*v " Ю' (22-3)
Подставляя в (3) выводимое из (2) равенство Хр = гр\Ау + + 1/2spvei4Vi4e,
будем иметь
А-а + da.tAy = -la, рЙр -\- Х/г {la, psPpo 4" la,, PvrРргto) АрАа -j-
+ Val", pv (-ppAphy -f Лрhy), (22.4)
где
day - la, P^PV' (22.5)
221
В (4) опущены члены более высокого порядка по А, чем квадратичные,
поскольку они не оказывают влияния на интересующие нас адмитансы G1; 2 и
Glt 23. Линейный адмитанс Gb 2 легко найти из (4), если в этом уравнении
отбросить все нелинейные члены. Интегрируя уравнение Аа + dayAy = -
/а,рЛр, получаем
Аа Ki) = j Gap (/12) /ip (t2) dt2, Gap (tn) = -Vav (ti2) /v, p, (22.6)
где обозначено
KaY К) = [exp (-%ay О (t), D = II da.: ||. (22.7)
Квадратичный адмитанс Gu 23 можно получить из (4), решая это уравнение по
схеме
Аа "1" dayAy - /а> p/lp - j- V2 (^а, pSppa Г ^а, PyG^Y(r)] Ар Аа
+ Vila, (Vy (-2rjspApl) + йр) hT (22.8)
где /4i(1) = Gi,2h2- решение линейного приближения. Из (8) получаем Ах =
Gi, 2 h2 + 1/iG1,23h2h3, где
Gl, 23^2^3 - j Ко,, X (Ко) {(К, pSppCT -f- 1т,$уГррГуа) А(р * (to) Аа *
(to) -j-
~Ь lx, ру t-2гррЛр * Ко) К Лр Ко)] hv Ко)} dto,
т. е.
Gp, vx Kii t2, t3) =
= j dto VMx (Ко) Кт, pSppa -j- lx, pуГppryb) Gpv K02) Gai (too) -
- Vnr K12) tx, у,/vpGpj, (Кз) - Vnx (ti 3) G, p -jppGpv K32) -f-
~\-V\ix(ti2) lx,y)$(t23). (22.9
Интегрирование no t0 здесь фактически ведется от tm = шах (/2, /3) до tv
Полученные адмитансы (6) и (9) нетрудно привести к спектральному
представлению, которое определяется формулой (16.14). Вычисляя интеграл
- (2л)-1 j ехр (-/cojK - m2t2) Vav (t12) /v, p dtx dt2
от выражения, стоящего во втором равенстве (6), при учете (7) не( трудно
получить
Ga, р ((r)ь (r)г) = - (<(r)К К П)ау/у.рб (coi (r)г)- (22.10)
При этом
j ехр (-ко/) Vay К) dt = (ко/ -f D)ay = (кО -г П)аг (22.11)
222
Используя (10) и (11) при вычислении соответствующего ингегрлла (16.14)
от выражения (9), находим
Dp,vx(Wli (r)2> (r)з) =
= (2л) ^ (гй>1 ф- D)xт {(/т, pSppcr + Iх, РуГ&Prva) X
X (( ко2 -j- D) 1L)pv ((-/Шз ф- D) 1 L)a^ -|- 1%, Vv 1 (-к°з ф-
^X'X
nL lv, px (R 1 (-г'(r)2 "b D) 1L)pv ф- v?.} 6 (wi Ф- "2 Ф~ (r)3).
