Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 7

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 178 >> Следующая

(ua == ша). Последнее равенство служит производящим равенством для формул
связи между моментами и корреляторами. Это означает,
13
что дифференцируя (7) несколько раз по различным компонентам вектора v =
(vx, ..., vn) и приравнивая v нулю, можно получить различные формулы, по
которым моменты выражаются через корреляторы.
Однократное дифференцирование по иа и приравнивание v нулю приведет к
тому, что момент (?а) совпадет с коррелятором (?"), чем объясняется
одинаковое обозначение этих величин.
Двукратное дифференцирование дает
(Еа,Еа2) = (Еа,, Еа2) + (Еа, ) (Еа2)- 0-8)
После трехкратного дифференцирования и приравнивания v нулю получаем
такую формулу:
(Еа, Еа2Еа3) = (Еа,> Еа2> Еа3)4~(Еа,> Еа2 )(Е а3) I 4-(Еа,, Еа3) (Еа2) "Ь
(Еа2, ?а3) (Еа,) "Г (Еа,) (Еа,) (?а3)-Коротко ее можно записать так:
(?а,ЕагЕа3)==
= (Еа,, Еа2> Еа3) ~\~ (3) (?а,> ?а2) (Еа3) 4~ (Еа,) (?а2) (Еа3). О "О
Здесь коэффициент в скобках обозначает число однотипных слагаемых,
отличающихся друг от друга порядком следования индексов.
Далее, имеем формулу
(Еа, • • -Еа4) = (Еа,, ^а2> ^а3> Еа4) 4" (3) (|а,> ^а2)(|а3, Еа,) 4"
4"(4)(?а,, 1аг, |а3) (?а4) + (6) (?а,, 1а2) (?а3) (|а4) + + (Еа,) (Еа2)
(Еа3) (Еа,)- (1-Ю)
Характерной чертой формул (9) и (10) является то, что в правой части
стоят с коэффициентом единица все возможные члены (не совпадающие в силу
симметрии корреляторов и произведений), соответствующие различным
разбиениям элементов las на под-
группы, причем каждой подгруппе соответствует коррелятор. Этой же чертой
обладают и формулы для более высоких моментов (?И1 ...
• •• Eas)> s > 4, что дает простой рецепт для записи этих формул без
использования производящего равенства (7).
Нужно отметить, что указанное правило: по одному разу учитывать все
комбинации, дающие несовпадающие члены, действуют и при вычислении (т. е.
при выражении их через простые корреляторы) сложных корреляторов.
Например,
(EiE2> Е3Е4) = (Ей Еа, Ез, ?4) + (Ei, Ез, Ез) (Е4) + + (Ei, Ег, Е4) (Ез)
4~ (Ei, Ез, Е4) (Ез) 4~ (Ег> Ез, Е4) (Ei) + + (Ei, Ез) (Ег> Е4) + (Ei,
Ei) (Е2, Ез) + (Ei, Ез) (Е2) (Е4) 4~
+ (El, Е4) (Еа. Е4) + (Ег, Ез) (Ei) (Е4) 4~ (Еа, El) (Ei) (Ез). (1-
11)
Стоящим в правой части членам соответствуют диаграммы, показанные на рис.
1.1. Группы элементов, которые в вычисляемом
14
корреляторе разделены запятой, на диаграммах должны быть связаны.
Указанное правило, которое нетрудно практически освоить, очень полезно
при проведении вычислений.
Случайные величины называются гауссовыми, если
все корреляторы, кроме (?"), (?а, ?р), а, р = 1, ..., п, равны нулю. Для
них по формуле (6) будет иметь
0 (v) = ехр | ? (?а) va + V2 ? (?а, |р) иаиД.
(. а a,J3 )
(1.12)
Производя преобразование Фурье, обратное преобразованию (2), при помощи
(12) для данного случая нетрудно получить
w (?) = (2л)-"/2 det1/21 Daр 1 ехр [-Vl Jj А*р (?а - (tm)") (Ip - тр)] ,
"'Р (1-13)
где
"*о = (1а). II || = II (la. У1Г-Для гауссовых случайных величин формулы
(9)-(11), конечно, упрощаются.
3. Моменты и корреляторы в квантовой теории. Предыдущие формулы
относились к неквантовому случаю. Переходя к квантовому случаю, нужно
отметить, что при этом случайные величины носят операторный характер и в
общем случае являются некоммутирующими. Поэтому неквантовому произведению
в квантовом случае могут соответствовать различные произведения с
различным порядком сомножителей. Отсюда следует, что в квантовом случае
моменты, а следовательно, и кумулянты можно вводить по-разному.
Чтобы распространить предыдущие формулы на квантовый случай, следует
сначала ввести некоторый принцип упорядочения операторов. Рассмотрим для
примера два принципа упорядочения
Первый принцип упорядочения. Условимся операторы ti, ... ..., ?", где
крышка сверху отмечает операторный характер величин, располагать во всех
выражениях таким образом, чтобы оператор
15
с меньшим индексом стоял левее оператора с большим индексом. При этом
упорядочении плотность распределения вероятностей и характеристическая
функция определяются так:
U = (8(ii-?i)...8(in-gn)> =
= Tr[6(i1-?1)...6(in-gn)p], (1.14)
0 (щ, . .., vn) = (ехр (L'iii)... ехр (y"L)),
где р -матрица плотности, описывающая состояние системы.
Из различных вариантов моментов нужно брать моменты с правильным
упорядочением, скажем, моменты
(1а1з)> (S1S3S5) и т. п., а не (|3|2)> (isiiis)-
Формулы (8)-(10) при этом сохраняют свое значение. Остаются справедливыми
также формулы типа (11).
Второй принцип -симметризационное упорядочение. Теперь вместо второй
формулы (14) определим характеристическую функцию таким образом:
0(И, • • •, ип) =-= ^ехр ^Д vaiaj ^ • (1.15)
Подставляя, (15) в формулу (3), получаем выражения (Ур)(я) =Va(laip +
ipla),
называемые симметризованными моментами.. Индекс (s) в левых частях
равенств (16) указывает, что моменты соответствуют симметри-зационному
упорядочению.
Для данного принципа упорядочения, как и для каждого другого принципа,
справедливы все формулы неквантовой теории.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed