Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда легко получить равенство, связывающее функции G123,i,
Gi2,34, Gl, 234-
Итак, согласно (62) диссипационно-неопределяемая часть G/I34 выражается
через G{23,4, С{2!з4. Следовательно, Gi234 выражается через Gl23, 4, G]
2, 34, Gl, 234-
8. Использование симметризованного триадмитанса для получения
четверного коррелятора. Четверной коррелятор можно выразить также через
функции G123,4, G12,34, Gi, 234, где
Gi23, 4 = V2 (G123, 4 -|- G321,4) (18.64)
- симметризованный триадмитанс. Покажем это.
Поскольку ^ Г + V2, соотношение (49) можно записать так:
///^(2) I Р"^/^2) I Г 1/ (п~~ ^ ^2Л
(lit) С/123, 4 = 1 3 С/12, 34 "1" А I С/23, 14 "Г 1 2С/13, 24 " /2 IC/J3,
24 (tm) С/31, 24/*
(18.65)
При помощи последней формулы нетрудно получить (2*ЙГЧС1(!14-I-G$, 4) =
= r3G{|! 34 + rxGg! 14 + ЫЦ 24 + 4J>n (G&(|{ - Gf 22!)- (18.66)
Тем самым найдена диссииационно-неопределяемая часть симметризованного
триадмитанса (64). Удобно ввести обозначение
R1324 = V2 (G123,4 -г G321,4) - ift (r3Gi(^ 34 -У r2Gi3! 24 "Ь ГiG23| 14)
(18.67)
(У1324 = У3124). В (66) сумму функций G±(2) выразим через функции М, N
при помощи равенств (47). Они дают
Й2 (Gl2,(34 - G12/34) = 2И1234 + У1234*
Используя пятое равенство (39) (а также второе), отсюда находим
tl2P\2 (Gi2,(34 - G12/34) = 2 (М,234 + У1234)-В силу четвертого равенства
(39) выражение в правой части равно также - 2М$1П. Итак, при обозначении
(67) равенство (66) принимает вид
2itiR\23A - -Л4з412- (18.68)
Здесь произведена перестановка индексов 2 и 3.
183
Итак, функция М оказалась выраженной через R. Используя четвертое
равенство (39), теперь через функцию R можно выразить и функцию N:
N1234 = -2/й (Д234 - ??з41г)- (18.69)
Следовательно, через R можно выразить все диссипационно-неопре-деляемые
части четырех индексных функций.
Вернемся теперь к четверному коррелятору, определяемому соотношением
(61). Кроме G\f, kt, в него входят еще комбинации типа
rjTGi2,(34 + ГзК?2ц(з4 = r3GfI? 34 - % {G72% - Gt%). (18.70)
В силу (47) имеем
G72% - <Й,34 = ft~2 [(ГГ - Г^) Ml234 + (Г27 - Г^) N1234 -Ь
(18.71)
Подставляя сюда (68) и (69), нетрудно получить
V* (G,2,,2| - Gj7 . (,И) = (ift) 1 [(Гм - Г г) Rm 4 - (г24 - Г2") Rzm
-(Г^-Г^)ДВ42.}. (18.72)
Из (39) видно, что функции М и N имеют одинаковый порядок величины.
Поскольку Г* по параметру ft (точнее, по безразмерному параметру йсоР)
имеют порядок величины й-1, из (47) получаем, что М имеет такой же
порядок величины, что и ft3G^% или ft3G\f, 34 = = ft3(G7% + Gf%).
Следовательно, в силу (68) разность (67) можно оценить так: Д234 ~
^2GiI|34. Таким образом, в нулевом и первом порядке по ft справедливо
получаемое из (67) равенство
Gi23, 4 -f- G3I1, 4 = 2ift (г3G12! 34 "Т r2Gi3? 24 "Г Г1G32? и).
В роли функции R, входящей в (72), может выступать не любая функция. Во-
первых, эта функция удовлетворяет соотношению
(/?1234 + R 124з)В R 3412 + R 3421.
вытекающему из (68) и (39). Во-вторых, согласно (47), (48), (68), (69)
должно выполняться равенство
(Г24 + Гн) Д2з4 + (Г2 - Г24) Д3412 -(Г 1 - Г,4) R3421 - ^iftGl!! 34-Через
функцию R можно выразить антисимметричную комбинацию G123,4 -G321,4. В
самом деле, подставляя (72) в (65), нетрудно получить
г/з (Gl23, 4 - G321, 4) = ift (G12! 34 + G% 14) - (Г34 - Г14) Д324 +
"Ь (Г34 -• Гз) /?2413 (Г1 - Г14) /?24зГ (18.73)
Отметим, что функцию (71), а следовательно, и четверной коррелятор G1234
можно выразить не только через /?1234, но и через антисимметричную
функцию (73). Однако результирующие формулы при этом сложнее.
184
В заключение этого пункта затронем вопрос о полностью сим-метризованном
корреляторе 1/8(([[[В1, В2]+, В3]+, В4]+)).
Он равен сумме двух частей: диссипационно-определяемойтипа (19) и
диссипационно-неопределяемой Gi234sym. Последнюю нетрудно получить путем
симметризации выражения (61), куда следует подставить (70) и (72). Это
приводит к такому результату:
G{2Vm = -ft2 {r3r4GfI? 34 + ^12 [r2r4Gf321 24 + (Г1Г3 + A132) Gg| 13] +
+ (Г4Г2 -)- 2Ai23)G34! i2} -f- xUib.P\2 {4Г47?1324
T~ Лз [(2Гi - Г14 - j- Гi2) 7^2431 - (Г4 - Г[4) R^,m Т" (Г2 - Дг) ^3142]}
-
Здесь 8Ai23 = 1 + Г1Т2/Г3 - ГгГ^/Гз. Нетрудно проверить, что в силу
равенства рх + • • • + р4 =0 данный оператор обладает свойством Л423 =
А424-
Отметим, что для получения полностью симметризованного триадмитанса V46
(([ [Вь В2]+, B3]+))/6ft4 выражение (26а), где совершена замена индексов
1^±3, следует сложить с выражением
G{iLsr = ift (r3G|i! 34 + r2G{I? 24 + r,Gg! ,4) + v* №з24 + R2m),
вытекающим из (67).
9. Модифицированные кубические ФДС. Модифицированные че-тырехиндексные
функции определяются так:
Y1, 234 ftlGl, 234) Г12) 34 = PlPvfili, 34)
Г423, 4 = P1P2P3G123, 4) ^1234 - P1P2P3P4G1234 = (¦Л.) *^2) J Зу ^4)0)
и аналогично для диссипационно-определяемых и диссипационно-
неопределяемых частей. Соотношения для этих функций легко вывести,
дифференцируя полученные выше соотношения. Так, согласно (18), (26), (36)
для диссипационно-определяемых частей найдем
