Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
диссипационно-определяемой и неопределяемой частей:
ft2G\2, 34 = Рз4 [Г2 II134K13I2 + 1^234^2341 "Ь Г24'П13Т124 ({324 -
^1342)]-
(18.35)
ство, взятое при / = 1, формулу (15) или (25). Легко видеть, что
Здесь учтено, что 1P23G2, 134 - 0, поскольку t|32iG2, 134 = 0. Если в
(361 произвести симметризацию по индексам 1 и 2, то будем иметь
Итак, диссипационно-определяемая часть биадмитанса найдена.
Заметим, что в двух последних пунктах, мы, вместо того чтобы вычислять
средние производные от корреляторов, вычисляли средние производные от
моментов. Эта подмена не является принципиальной. Дело в том, что
различие между этими средними относится к классу произвольных функций
типа (16.70), которые можно добавлять в полученные выражения (22) и (33),
благодаря присутствию операторов Г*. Эти функции являются, по существу,
"константами интегрирования" данных операторов.
5. Два соотношения для диссипационно-неопределяемой части биадмитанса.
Принимая во внимание (11), нетрудно получить
РчзТ]|2зК19Я4 = Р•>3 1Й4123 4- ?-1 243 ~\~ (2 "Ь 3)|42з1 = TWl423,
(эти выражения мы обозначаем МЫ2з, N132i). При этих обозначениях формулу
(35) при / = 2 можно записать так:
Используя разложения (37) по парциальным функциям, а также (12), нетрудно
проверить, что входящие сюда функции обладают такими свойствами:
(18.34)
где
Для определения G12! 34 остается подставить в последнее равен-
член с Tji3 (Ei324 - Е1342) исчезает. Поэтому получаем
G12! 34 = iflP 34 (Г2 P34G1, 234 "Ь ГГII34G2, 134))
или
G12! 34 (Г2 Gl, 234 + Г^Ог, 134).
(18.36)
(G12? 34)Sym - V2 (G12! 34 j- G21! 34) ifi (r2Gl, 234 I 1G2, 134)-
- (6 -4 6)3124 (d - Г <T)l342 C1234 - 63412 = N1324
^2Gi2? 34 = Г2 TW1234 ~b If TW2I34 -f- Гг4^ 1234 -f- Ггз/V 1243-
(18.38)
Ml234 -Mi243> N\234 =-----TV 2143. WF234 = #3412"
TW1*234 + TW3412 = -N3412, TWl234 - ТИ2134 + N1234 Д- N1243 = 0.
(18.39)
178
Не все из этих свойств являются Независимыми: можно показать, что третье
следует из четвертого, а последнее свойство вытекает из остальных. Далее,
используя (37) и (12), можно убедиться, что функция
Umi = T1i2V^1234 = 64132 - 6i324 -1 63124 + 64123 + Cl243 " C3412 +
"Ь ^1432 - ^1342 - (C + <Т)з112 "Г (2 + <7)l423 (18.40)
представляется через указанные функции следующим образом:
61234 = М12 34 У Л4142з У Л^1324. (18 . 41)
Нетрудно доказать, что диссипационно-неопределяемая часть биадмитанса
удовлетворяет соотношению
G12! 34 = G2?, 34- (18.42)
В самом деле, используя (38), а также (16.72) и второе равенство (39),
получаем
Й2 (G\t 34 - G21! 34) = -^Tl234 У М2134 - N1234 - N1243-
Отсюда вытекает (42) в силу последнего равенства (39).
Второе соотношение, которому удовлетворяет G{|^ 34, имеет вид
crrrGf 34 = ititgS .2- (18.43)
Для его доказательства подставим (38) в левую часть равенства и
преобразуем полученное выражение так, чтобы в каждом члене стоял оператор
ГГ Для этого нужно использовать (16.77) и тождество
(16.74), т. е. равенство
ГЛТ1Т = -If (Г-ПТ + Г2Г.Г + Г2+Г3+) (18.44)
при рг У р2 У Рз + Pi = 0. После этого члены с Г1Т3Г7 сократятся.
Вследствие последнего равенства (39) мы получим
iyr4-G,1! 34 = -ТМ [ГГ (М1234 У Nmi)B + Г3+МГ234 У
+ (ГГ + ГЙ) N!234 У (Г3" + ГЙ) №ш]. (18.45)
Вместо Tj -f Гн здесь можно взять Гз У ГГ4- Принимая во внимание (45) и
используя (38) для подстановки в правую часть (43), уже нетрудно доказать
(43), если использовать второе, третье и четвертое равенства (39).
Соотношению (43) можно придать несколько другой вид. Умножая его на ехр
(фй (р3 У р4)/2) = ехр (-фй (рг У р2)/2) и учитывая определение
операторов Гу нетрудно получить
rMI^-r^G^, (18.46)
где
Г' (р) = (Г+Г-),/2 = [2 sh ШШГ1-
Если в найденные соотношения (42), (43) или (46) подставить G12I 34 =
G12, 34 - Gi2? 34 - ^12, 34 - tft (Г2 Gl, 234 У Г^ЧЗг, 134) >
179
We учтено (36), или сиМметризоваНйое выражение
Gli! 34 *= "* № (Г2С1, 234 - Г1С2, 134).
то получим равенства, затрагивающие полный биадмитанс Gia, 3i ИЛИ его
снммеТрИзованный вариант Gti% = Va (G12,34 + G21,34)-
6. Соотношения для диссипационно-неопределяемой части триад-митанса.
Равенствами
определим функции Gi*,34. Нетрудно видеть, что с их помощью равенство
(38) записывается в виде
Для этого следует учесть формулу (24) при j = 2. Используя обозначение
(40), имеем
С другой стороны, подставим (48) и (47) в правую часть (49). После этого
используем (16.75) для того, чтобы вместо стояли
только произведения операторов типа Г*Г*,. Далее, используя
(16.72), все произведения типа Г^Т^, переведем в произведения Г*Г". Будут
лишь такие варианты этого произведения: ГзГй, Г2Гй, ГзПз, Г/ГГз, ГДТ2,
Г7ГГ2, т. е. такие же как и в (50). Вследствие (41) множители перед Г^Гй,
Г^Тй и т. д. будут равняться соответствующим множителям в правой части
(50). Следовательно, равенство (49) выполняется.
В неквантовом пределе из (49) получаем соотношение
Отсюда видно, что триадмитанс выражается через биадмитанс и обычный
адмитанс. Возвращаясь к квантовому случаю, видим, что триадмитанс не
