Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
G1234 = -ifi3 [Г2 Г3 Г4 (Gi, 234 ~ Gf, 234) + Г^Г3 Г4 (G2,134 - Gf, 134)
+ + Г^Г2+Г4-(С3, ,24 - G3B, ,24) + rtrfrf (Gi, ,23 - Gi 123)].
(18.18)
Видим, что полученное выражение имеет такую же структуру, что и (17.44).
Рассмотрим теперь симметризованное выражение
( Gi 234)SyШ = Vs (G1234 4~ G1243 4~ G1342 + G1432 +
"Г ^2341 4" G243I 4" G342I + G432I)" (18. 19)
которое является корреляторным аналогом диссипационно-опреде-ляемой части
симметризованного момента V8 (\ВЪ [Д2, [Ba,Bi ]+ ]+ ]+)0. Из (17а) для
него вытекает формула
№)sym = -1Й3Г, [(Г3Г4 + V4) G2, 134 + №4^3, ,24], (18.20)
где _
G2, 134 = G2, 134 - Gf, 134 - Gl, 234 4" G], 234-
Она аналогична формуле (17.46) квадратичной теории. Из (19) или (18)
нетрудно получить также диссипационно-определяемую часть коррелятора,
полностью симметризованного по всем четырем индексам. Это выражение более
сложное, и мы его не будем приводить.
3. Диссипационно-определяемая часть триадмитанса. Сначала найдем, как
триадмитанс (2) выражается через коммутатор У1234. Имеем
б (BiB2B3) б В1 р р ip ^Ва р I р р б в3
~ж- = ЖГВД +В1"бАГВз+ад'бАГ-
Учитывая (16.37), отсюда получаем 6 (В1В2В3)/бй4 = (ЦП) (т)14 [Въ Д4 ]
Д2Д3 +
~Т Л24Д1 [Дг> В± \ В3 4" Г)з4Д4Д2 [Да, Д4])-Поэтому триадмитанс (2) можно
записать так:
(П/i) G123,4 = т}14 ([Д4, Д4] Д2Дз)о + Л24 (Вг [Дг> Д4] Дз)о 4~
+ Л34 (Д1Д2 [Дз. Д^)*)' (18.21)
175
Пользуясь формулами (16.63), (16.64), (16.65) при D = [?ft, В4], из (21)
находим
(ft/i)Gi23, 4 = т|14Г2з(Гз Гмгз 4" ГгТмзг) 4"
+ Л24 (ГЙГГ1/2413 + rr3rtv243l) + Г134Г12 (ГГУ3412 + r^l/3421). (18.22)
Здесь использовано (16.72). В первом члене в правой части (22) можно
переставить г|14 и Г23, 14, (и аналогично в других членах). Возможность
этой перестановки обеспечивается тем, что в г|14, с одной стороны, и в
Г23, Гз, Гг - с другой, входят различные временные аргументы. Подставляя,
кроме того, (9), из (22) будем иметь
G123, 4 = Gill, 4 + Gill, 4, (18.23)
где
(fi/i)Giil, 4 = Г23 [Г3 (рнГигз) 4- Гг" (лнГнзг)] 4" Г13Г3 (Т124Г2413) 4"
+ Г4Г^(Л24Г^1) + гЙ [ГГ(ГЬ4^|2) + rf (Л34Г3421)] (18.24)
(/ =1, 2). Используя (15), находим
Л12Г1234 = (Щ3 (Gi, 234 + GI ш). (18.25)
Подставляя (25) в равенство (24), взятое при / = 1, получаем дисси-
пационно-определяемую часть триадмитанса:
(i/fif G123,4 = Г23 (Гз 4- Г^) (Gi, 234 4" G4, 123) 4~
4- (П3Г3 4- ПзГ^) (G2, 134 4- Gl 123) + rjt; (Г2 + Г!1") (Сз, 124 + G4,
123) или, если учесть (16.75),
Gi(23, 4 = -ft2 [IYI7G,,234 + ГГта, 134 + Г4Г2+Оз, ,24 +
+ (ГГТГ + ГГ г,4 + ГГГ2+) GI123]. (18.26)
Отсюда, в частности, нетрудно получить, что симметризованный три-адмитанс
(Gl23, 4)Sym - V4 (Gl23, 4 + G132, 4 4" ^231, 4 + G32i, 4) определяется
формулой
(Gm, 4)Sym = -П2 [(Г2Г3 + 1/4) (Gl, 234 + Gl ,24) + 4" Г1Р23Г3 (G2,134 4-
G4,123)]- (18.26a)
Структура правой части здесь такая же, как и в (20).
4. Диссипационно-определяемая часть биадмитанса. В биадми-танс (1)
входит вторая производная по силам. Имеем
6" (ДА) р , 6Bt 6В2 , 66Вг р баВа пяд7)
б*3 6Л4 - 6А_а 6А4 2_Г" "Аз 6А4 "Г 6А4 6Л8 ^ 16h3 6А4'
Найдем вторую производную, входящую в первый член. Если t-4 > t3 > t4,
то, применяя (16.39), имеем
1Й4"(тУ"в'- B*i-
176
Учитывая также возможность неравенства tx > t4 > ts, при котором
справедливо аналогичное выражение, получаем повсеместную формулу
¦етг = (т)2{?11зЛ[51' Вэ]> +ГГ въ в4], вац.
Аналогичным образом можно записать вторую производную в последнем члене в
правой части (27). Раскрывая, кроме того, первые производные при помощи
(16.37), из (27) будем иметь
BJ. ВЛВ,) +
11i3,l24 {[Въ В3][В2, В4]) -j- г)2з4 (Bi ЦВ2, В3], В4])|. (18.28)
Здесь следует положить h (t) = 0, после чего левая часть равенства
превратится в -/z2G12,34, а в правую часть войдут равновесные средние.
Используя (16.57) при D - [[Вг, В}], Bh], находим
([[Вь В3), В4] В2)о = Г134 ([[[Вь В3], В4], В2])о = -Г2 Pi342t /jo 29)
(Bi [[В2, В3], В4])о = -Г1*-V2341 -
Теперь выразим через Г1231 средние типа ([Вх, В3] [Ва, В4])0. Снова
используя (16.57) при D = [Вх, В3], имеем
([В,, В3][В2, В4])0 = Г13([[Вь В3], [В2> В4]])0. (18.30)
Двукратный коммутатор обладает свойством
ПА, С], D] + [[С, ?>], А ] + [[D, А ], с] = 0 (см. второе равенство
(17.35)). Поэтому
<[[Ва, Ва], [В2> В4]])" = - <[[ВИ, [Вя, В4]], B{i)0 -
([[[В2, В4], Bj], В3))0 = Г2431 ~ V2ш- (18.31)
Вследствие (29), (30), (31) из (28) получаем -h2G\2, 34 = Р34 [-ЛшГг
К1342 - 11234^1/2341 +
Г)13Г124Г13 (Г^2431 ~ Г241з)]- (18.32)
Здесь можно поменять местами функции г) и операторы Г±. При этом нужно
заметить, что грз и Г?з коммутируют по той причине, что в тцз входит
разность времен t\ - tz, а в Г*3 - оператор d!dt\ -+- dldt3. Легко
проверить, что t4 - t3 и d/dt4 + dldt3 коммутируют. В результате приведем
(32) к виду
^2Gi2, 34 = В34 (Г^ (т]1з41342) + Г)1" (11234Г2341) -
- Г13 [Т)13Т)24 (Г2431 - ^241з)]Ь (18.33)
Последний член в фигурных скобках, используя (7), можно записать так:
Г24'П1з'П24 (1Лзг4 - Гшг)-
177
Подставляя в (33) разложение (9), получаем биадмитанс в виде суммы
