Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 22

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 178 >> Следующая

тривиальной, и формула (21) принимает вид
LT = [1/да (В) ] L да (В).
Здесь да (В), 1/да (В) мыслятся как операторы умножения на эти функции,
"т" обозначает транспонирование.
4. Ограничения, накладываемые на кинетический потенциал и его
изображение. Вследствие (18) матричные элементы ЬВВ' можно записать так:
LBB, = $V В') б (В-В'). (6.22)
Подставляя (22) в (21), получаем у{-кТ^г, гВ) б (В' - В) да (В) =
^V{-kT-~-, В')б(В-В')ш(В'). (6.23)
Умножим (23) на ip (В') и проинтегрируем по В'. При этом в левой части
(23) дифференцирование, предписываемое аргументом -кТдЦг'дВ'), будет
производиться в первую очередь. В правой же части дифференцирование,
предписываемое аргументом -kTd/dB, будет совершаться в последнюю очередь.
Учитывая это, равенство (23) можно записать в операторном виде так:
NB,d[v(kT-^s~, гВ)ш{В)'\=Ыд,вУ(ГкТ в)да(В).
(6.24)
54
Здесь N в, а указывает упорядочение оператором, обратное упорядочению ЛС,
в- В левой части (24) в первом аргументе изменен знак но сравнению с
(23), так как д8 (В' -В)/дВ' == -дб (В' -В)/дВ. Воспользуемся теперь
формулой
АГо. в/ (д/дВ, В) = NB, 0f (д/дВ, В), (6.25)
где
Г(х, у)=ехр(-^г)/(х, у)
(д2/дх ду = ^д2/дха дуа\ х, у-числовые аргументы). Эта формула доказана в
приложении 3 (см. (П3.6) и (П3.8)).
Полагая f (и, В) = V (-kTu, В) w (В) и используя (25), приводим равенство
(24) к виду
Мв-дУ{кТ~Щ-' *B)w(B) = NB,df(JL, В), (6.26)
где
f (и, В) = ехр (^-) [V (-кТи, В) w (В)]. (6.27)
Поскольку в обеих частях равенства (26) стоит одно и то же упорядочение
операторов, должны совпадать и функции:
V (кТей, вВ) w (В) = f (и, В). (6.28)
Из (27), (28) имеем
ехр ^ ^ [V (-kTu, B)w (В)] - V (кТви, sB)ro(B)
или, если обозначить -kTu - у,
ехр (-кТ [V (у, В) w (В)] - V (-гу, еВ) а (В). (6.29)
Последняя формула накладывает обусловленное временной обратимостью
ограничение на кинетический потенциал V (у, В). Более простой вид имеет
соответствующая равенству (29) формула, затрагивающая изображение R (у,
х). Умножим (29) на const-ехр (РхВ). Согласно формуле (5.26) имеем
ехр ((кВ), ехр ехр [ -кТ - (к) | X
X ехр ((кВ).
Поэтому формулу (29), умноженную на const-ехр (вхВ), можно записать
следующим образом:
ехР [ ~kT WM + * if j fУ (У, В) wx (В)] = V (-гу, вВ) wx (В).
Если обе части этого равенства проинтегрировать по В в бесконечных
пределах, то все производные по В выпадут, и мы получим
jexp(*-|-)[V(0( B)wx(B))dB = j У (-гу, вВ)тх(В)йВ.
55
Используя определение (5.25) изображения кинетического потенциала,
последнее равенство можно записать в виде
ехр (x^R(y, x) = R(-еу, ex). (6.30)
В самом деле,
J V (-еу, еВ) wx (В) dB = J V (-гу, В) wx (еЪ) dB =
= J V (-еу, В) wex (В) dB = R (-еу, е.х), (6.31)
поскольку wex (еВ) - wx (В) в силу (7), (5.23).
Если использовать формулу
ехР (* -^) Ф (У) = ф (У ^ х), (6.32)
представляющую собой, в сущности, разложение Тейлора
СО
Ч(у + х) = у(у)+^?2Ш-,
П= 1 ^
то равенство (30) можно преобразовать к такому виду:
R (у + х, х) = R (-гу, гх). (6.33)
Это равенство есть основное производящее соотношение марковской
нелинейной неравновесной термодинамики, вытекающее из временной
обратимости. Мы видим, что оно значительно проще, чем эквивалентное ему
равенство (29). Чтобы получить это упрощение, и вводится изображение
кинетического потенциала.
5. Модифицированное производящее равенство. Выкладки, аналогичные
предыдущим, можно провести и для модифицированного кинетического
потенциала, определенного в п. 5.5. При этом вместо (24) будет
справедливо равенство
Мв'°[Г{к1Ж' ri)]w(B) = NdfBV'(-k-ls-, B)w(B). Аналогом формулы (29) будет
формула
ехР (¦-* wm) [V(Y' B)w (ЭД = v' (-eY'eB)w (в)- (6-34)
Умножив (34) на const-exp (XB/k), интегрируя по В и учитывая (5.39),
(5.40), в полной аналогии с предыдущими выкладками получаем равенство
R' (Y + X, X) = R' (-еУ, еХ). (6.35)
Оно представляет собой модификацию производящего равенства (33).
В заключение отметим, что из равенства (35) вытекает выведенное ранее
равенство (5.42) (как и из (33) вытекает (5.28)). В самом деле, положив Y
= 0 в (35), получаем
R' (X, X) = R' (0, еХ). (6.36)
56
Ho R' (0, еХ) = 0, как это видно из (5.43). Следовательно, (36) дает
(5.42).
Итак, производящее равенство (33) (или (35)) является более сильным,
более ограничительным, чем равенства (5.28), (5.42), являющиеся
следствием стационарного уравнения (3.22).
§ 7. Примеры справедливости производящего равенства
1. Следствия из производящего равенства для систем с линейной
релаксацией и квадратичной свободной энергией. В случае систем,
описываемых линейными феноменологическими релаксационными уравнениями
(5.13), кинетический потенциал имеет вид (5.22). Подставляя это выражение
в (5.25), находим соответствующее данному случаю изображение
R (Ч, X) ~ dayl/a {ИурУр Ay(xj).
(7.1)
Зависимость А (х) обратна зависимости х (А), получаемой путем
подстановки свободной энергии (5.14) в (5.30). После этой подстановки
будем иметь
Ха (Л) = ИарЛр. т- е- (X) = щ'аХа.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed