Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 21

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 178 >> Следующая

Здесь w (г) есть распределение (2.5) или (2.6). В любом случае в силу (1)
это распределение симметрично по времени:
w (ег) = w (г). (6.6)
Нетрудно убедиться, что справедливо равенство
w (гВ) = w (В). (6.7)
В самом деле, используя (5) и (4), имеем
w (еВ) - j 6 (В (г) - еВ) w(z)dz= j 6 (В (ег) - В) w (г) dz
(использована четность 6-фуикции). Делая в правой части замену переменных
интегрирования, получаем
w (еВ) = [ 6 (В (г) - В) w (ег) dz, что совпадает с (5) в силу (6).
51
2. Условия, Накладываемые временной обратимостью на веро-ятности
перехода. Перейдем теперь к рассмотрению двухвременного распределения
wt.t, (В2, Bi) -
= j 8 (В (г (*")) - В2) 6 (В (z (4)) - ВО ш (г (4)) dz (4), (6.8)
где t2 - = т > 0, z (4) =: фт (z (4 -т)), последняя функция опре-
деляется уравнениями Гамильтона.
Перейдем к обратному времени. Оно определяется равенствами ?=?(/) = -t +
const. Моментам времени 4, t2, 4 < 4, в обратном времени соответствуют
моменты ? (4), ? (4), Наибольшее из них обозначим через ?б, а наименьшее
- через ?м. Наиболее ранний момент в прямом времени становится наиболее
поздним в обратном и наоборот, поэтому
?й = t (4) - -ti ф const, FM = 1 (t2) = -12 ! const. (6.9)
Если константу взять равной t2 + /ь то из (9) получим
?м = 4- (6.10)
Запишем в обратном времени распределение, аналогичное (8). Оно имеет вид
wf6hi(B2, 5,) =
= j 6 (В (г (7gi) - 52) 6 (В (г (4,)) - 50 ш (г (7Ы)) dz (iM).
(6.11)
При записи формул (8) и (11) учтено, что В (t) -- В (г (1)), В (/)
- В (z (/)), т. е. как в прямом, так и в обратном времени, изменение
внутренних параметров вызывается исключительно изменением динамических
переменных. Но при наличии временной обратимости изменения динамических
переменных в прямом и обратном времени описываются одинаковыми
уравнениями (2) и (3), а стационарное распределение в фазовом
пространстве одно и то же. Поэтому выражение (8) должно быть такой же
функцией от t2 - 4> В2, Въ
какой является выражение (11) от 70 -7М, 5б, Вм. Обозначая эту функцию
через /т (В2, 50, получаем
(6 (В (4) - В2) 6 (В (4) - BJ) = fr (В2, во, (6.12)
(6 (В (4) - В2) 6 (В (7М) - В,)) = /г (В2, Вг), Т > 0. (6.13)
Используем теперь связь между функциями В (t) и В (t). При учете сигнатур
еа, входящих в (4), имеем такую формулу связи:
Ba(l(t)) = eaBa(t). (6.14)
Полагая здесь сначала t = t2, а затем t - 4 и используя (9), получаем
Ва (7б) = еаВа (4), Вп (7м) = еаВа (4).
52
Следовательно, равенство (13) можно записать В Виде (б (вВ (h) - В2) б
(гВ (/,) - Вг)) = U (Ь Вг)
или
(б (В Иг) - В2) б (В (t2) - Вг)) = /х (еВ2, еВ^ (6.15)
(еВ4 = В,), поскольку б (е*) = б (х).
|?Если поменять В2 на Вг и Вх на В2, то выражения в левой части равенств
(12) и (15) отождествятся. Следовательно,
/т (eBj, еВ2) = /т (В2, Bj).
Это равенство, т. е. (в силу (8), (12)) равенство
шт (еВь еВ2) = ш, (В2, Bj), (6.16)
представляет собой ограничение, накладываемое условием временной
обратимости на двухвременное распределение вероятностей.
Из (16) нетрудно получить ограничение, накладываемое на вероятность
перехода
w, (В2 | Вг) - Wx (В2, В1)/ш"(В1).
Учитывая (7), из (16) находим
Wx (вВг | еВ2) w (В2) = (В2 j Вх) ш" (Bj), (6.17)
где т > 0; ш (В) -равновесное распределение.
3. Соотношение, затрагивающее оператор основного кинетического
уравнения. Рассмотрим теперь оператор
L = Nd, дРУ (-W1 б) (6.18)
кинетического уравнения (5.8). Если ввести матричные элементы LBB'
оператора L, то действие этого оператора можно записать в виде интеграла
Lf (В) = j LuB'f (В') dB'
(/ (В) -любая функция).
Согласно выводу кинетического уравнения в п. 3.3, матрица ЬВв'
определяется таким предельным переходом:
LBB. = lim {т-i [wx (В | В') - б (В - В')]}. (6.19)
Т->-0
В самом деле, если исходить не из (3.10), а из эквивалентного равенства
(3.7), то формула (3.12) примет вид
т~х [wt,tl (В | В") - wilti (В | В")] =
= т-1 { j [wuu (В | В') - б (В - В')] witU (В' I В") dB'}
(мы поменяли у на В).
53
Отсюда предельным переходом т0 получим кинетическое уравнение
wttl (В | В") = J LBB.wUl (В' |В") dB' = Lwih (В | В")
при LBlv, определяемом формулой (19).
Найдем ограничения, накладываемые на кинетический оператор условием
временной обратимости. Равенство (17) эквивалентно следующему равенству:
т-1 [даг (гВ1 | еВ2) - б (Вх - В2)] w (В2) =
= т-i [wx (В2 | Вх) - б (В2 - ВО] а" (ВО, (6.20)
поскольку б (Вх -В2) да (В2) = б (Вх -В2) да (ВО- Совершая в (20)
предельный переход т-+0 и учитывая (19) и (7), получаем
[1/ш(В')] ЬгВ', евда(В) = ЬВВ', (6.21)
где В = В2, В' = Вх. Здесь слева стоит кинетический оператор в обратном
времени, а справа -кинетический оператор в прямом времени; они должны
совпадать в силу временной обратимости. Мы видим, что кинетический
оператор в обратном времени получается из "прямого" оператора тремя
операциями: операцией транспонирования, операцией замены В, В' на sВ, еВ'
и операцией умножения справа на да (В), а слева на да'1 (В). Если все
параметры четны по времени, то вторая из этих операций становится
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed