Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
УсеуП(хП- О,
которое должно выполняться при любых аъ а2, ... Для матрицы (51)
выражение Vayaaay принимает вид
д2'дуадуу) аайу = ^ 'Т_1 АВ°^2 6ХР ^ АВ^в^ ^5'52^
Выражение, стоящее в (52) под знаком усреднения, неотрицательно при любых
а. Поэтому величина (52) всегда неотрицательна. Это и доказывает
неотрицательную определенность матрицы (51) и выпуклость по у
кинетического потенциала.
Из доказанной выпуклости вытекает, что описывающий флуктуации урезанный
потенциал
Уф (у, B) = V(y, В)-Ка(В)уа =
оо
= S ~т\ "т УаГ ¦ Уат' (5-53)
т=2
который определяется только диффузионными коэффициентами Кар (В), Кару
(В), ... и который, следовательно, обусловлен отличием флуктуаций от
нуля, обладает свойством неотрицательности. В самом деле, выполняются
вытекающие из (53) равенства
Уф (О, В) - О, 3Vф (у, В)/дуа - О
при у = 0. Следовательно, гиперплоскость у0 - 0 в (г + 1)-мерном
пространстве с координатами у0, г/ь ..., уТ касается гиперповерхности г/0
= Уф (г/, В) (координаты В фиксированы). Вследствие выпуклости последней
она лежит по одну сторону от гиперплоскости, а именно -сверху. Это
доказывает указанную неотрицательность.
Доказательство можно провести также непосредственно, не используя
свойства выпуклости. Из (53) и (50) имеем
Уф (у, В) - kT lim [т"1 (/ (у ДВ))в], (5.54)
Т->0
где
/ {х) = ехр фх) - 1 - р*.
Из неотрицательности функции / (х) вытекает неотрицательность предела
(54).
Свойством выпуклости по у обладает также изображение (31). Учитывая (2) и
(32), видим, что функции xai...am(x) можно представить в виде
Ко*.. .am (X) = lira [т-1 (ДВа1 . .. ДВаД], (5.55)
49
где
(...)x=\(...)Bwx(B)dB.
Подставляя (55) в (31), получаем формулу R (у, х) = kTY\m [т-1 (ехр ((3 у
А В) - 1 )х],
т-*0
которая аналогична (50). С ее помощью доказательство выпуклости
проводится совершенно аналогично предыдущему. Также аналогично
предыдущему можно доказать неотрицательность:
(У, х) 5з 0 (5.56)
обусловленной флуктуациями части изображения
сю
Яф (у, х)= -^^т~]ксс1...ат(х)Уа1...Уат, (5-57)
т=2
которая определяется функциями ха1аг(х), xaiai0,a(x), ...
§ 6. Следствия из временной обратимости
1. Обратимость функции Гамильтона и единовременного распределения.
Равенство (5.12) накладывает некоторое ограничение на кинетический
потенциал и, следовательно, на оператор кинетического уравнения.
Временная обратимость марковского процесса В (t), который предполагается
стационарным, накладывает дальнейшие ограничения на кинетический
потенциал.
Рассмотрим, что такое временная обратимость или, иначе говоря,
инвариантность относительно обращения времени, т. е. замены t на I = -t +
const. Рассматриваемая система 5 является обратимой во времени, если ее
функция Гамильтона Ж (г) инвариантна относительно замены переменных г -
(qly q2, .... ръ р.г, ...):
г = ez ^ (&1q1, е2^а, ..., чп+1ръ гп+2р2, ...) =
= (Уъ <7г. -Ръ -Ръ •••)•
Здесь ег = 1 для координат qt> так как обобщенные координаты
предполагаются временно-четными, не меняющими знак при обращении времени.
Импульсы же меняют знак и поэтому для них е, --= -I, i > п.
Условие временной обратимости рассматриваемой системы, следовательно,
можно записать так:
Ж(вг) = Ж(г). (6.1)
Это условие означает, что функция Гамильтона четна по импульсам. Оно
выполняется в огромном большинстве случаев, но не всегда. Оно
несправедливо, например, когда рассматриваемая система находится во
внешнем магнитном поле Н, которое меняет знак при обращении времени. От
этого поля функция Гамильтона зависит как от параметра, поэтому в данном
случае выполняется равенство
50
М (гг, Н) -- (z, Н), а пе (1). Подобные случаи будут обсуждаться
в дальнейшем (см. и. 10.4).
Нечего и говорить о том, что операция обращения времени является чисто
умозрительной, реально обратить время невозможно. Из условия (1) нетрудно
вывести, что уравнения Гамильтона
dqi _ дЖ dpt __ дЖ ta 0N
dt ' - dPi ' dt ~ dqi ' V>
описывающие изменение системы во времени, остаются инвариантными при
обращении времени, т. е. что в обращенном времени справедливы точно такие
же уравнения: dqj РЖ dpj РЖ
dl dpi ' dt dpi
(6.3)
Предположим теперь, что рассматриваемые внутренние термодинамические
параметры В = (В1, ..., Вг) являются собственными функциями оператора
обращения времени, т. е. удовлетворяют равенствам
Ва(иг) = гаВа(г), а = 1, ..., г, (6.4)
где еа -некоторые числа. Поскольку вторичное применение оператора
обращения приводит к первоначальным функциям, числа га обязаны
удовлетворять условию ед = 1, т. е. равняться 1 или -1. Если га = 1, то
параметр Ва называется четным по времени, а если еа = -1 -то нечетным.
Предположение справедливости равенств (4) не является, в сущности,
ограничением общности, так как если (4) несправедливы, следует перейти к
параметрам
В а (г) ± Ва (ег),
которые будут удовлетворять равенствам типа (4).
Рассмотрим теперь единовременное равновесное распределение внутренних
параметров
w (В) - j 6 (В (z) - B)w (г) dz. (6.5)
