Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
... X J Фа-1 exp - ih ? fW
<! V /-1
m 3 Ш ^A-l 4n
= S 1 dfAl 1 • ¦ • J Фа-i J Фа J Фа-i X . . .
A=1 Ц~1т p-Xm P-Am О 0
V-m-2 / m-1
• • • x J фщ-j exp - ih ^ HjPj 0 \ /=1
Обозначим через Ejt область интегрирования k-го члена в (5). Нетрудно
видеть, что в входят все те точки области Е, определенной равенствами
Р > (Tl > (Хг > ' ' • > Рт-2 X- Цт-1 X1 О,
для которых среди чисел р1( ц2, ..., pm_i имеется т - k чисел, меньших Р
- %т, и k - 1 чисел, больших |3 - Хт. Каждая точка области Е заведомо
относится к одной из областей Еъ ?2, ..., Ет. Следовательно, области
интегрирования Ед в сумме дают ? и из (5) имеем
У - | ехр (-/ЙЦгРх ---------4<i * ¦ • Фт-i*
Е
В силу (25.38) это означает, что Y = Ф (ри ..., рт_j). Поэтому после
тривиального интегрирования (4) дает (1).
2. Равенство для моментов. Сумму, входящую в (25.42), можно записать
так:
^1 ... п (Ф1 ... п (В1 ¦ ' ' Вп)о) = В1 ... (п-1) 1В(1 ... п) (Ф1 ... п(в
1 • • • nfi)o)]-Но каждый член
(r)А (fc+1) ... "12 ... (/г-1) {ВкВк+1 ¦ ¦ • ВпВ\В2 ¦ ' ' Вк-1 )о суммы |
П) путем применения формулы (16.51) можно привести к виду
ФА (А+1) ... "12 ... (/г-1)ехРНг'ЙР (Pi -1-Р2 +----н Р/г-1 )] (В\В2 ¦ • •
Вп)О-
Используя (1), получаем
*(1 ... ч)ф1 ...п(в 1 • ¦ • Вп)О = Рф1 ... ("-!> (5, . . . Вп)о.
(П8.6)
Для вывода (25.42) остается в (6) произвести суммирование Р{ ((г-1)-
Вместо Bj, ..., Вп в (6) можно взять любые другие операторы Dx, ..., Dn.
Наконец, заметим, что в силу (25.30) соответствующее равенство (с
операторами Dj) можно записать и в таком виде:
Р Ч Апгх
Р(1 ... п) j dXl j dK ' ¦ ¦ j ^n([exp(?i1^0) D,exp(-X,#0) X---oo о
• •• X [exp {ХпЖ0) Dn exp (-ЧЛ)]>о =
P 4 = P j dX, j dX2. . .
0 0 Q
• • • X [exp (Яп_х5^о) ^n~i exP ( &п)о* (П8.7)
Здесь, как и в (26.1), - невозмущенный гамильтониан.
'71-2
| dXn_x ([ехр (Ч^о) Dx ехр (-Ч5"0)] X ¦ • •
(П8.5)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bernard IF., Callen Id. В. Irreversible thermodynamics of nonlinear
processes and noise in driven systems. - Rev. Mod. Phys., 1959, v. 31, p.
1017-1044.
2. Боголюбов H. И., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний.-М.-Л.: Гостехиздат, 1955.
3. Бочков Г. НЕфремов Г. Ф. Нелинейные флуктуационно-диссипационные
соотношения и стохастические модели (учеб. пособие). - Горький: Изд-во
Горьк. ун-та, 1980.
4. Бочков Г. Н,, Кузовлев Ю. Е. К общей теории тепловых флуктуаций в
нелинейных системах.-ЖЭТФ, 1977, т. 72, с. 238-247.
5. Бочков Г .-И., Кузовлев Ю. Е. Нелинейные стохастические модели
осцилляторных систем. - Изв. вузов. Радиофизика, 1978, т. 21, с. 1467-
1484.
6. Бочков Г. Н., Кузовлев Ю. Е. Флуктуационно-диссипационные соотношения
для неравновесных процессов в открытых системах. - ЖЭТФ, 1979, т. 76, с.
1071-1088.
7. Бочков Г. Н,, Кузовлев Ю. Е. Нелинейные флуктуационно-диссипационные
соотношения и стохастические модели в неравновесной термодинамике. -
Препринты №№ 138, 139, Горьк. н-и. радиофиз. ин-т, 1980.
8. Van Катреп N. G. - Physica, 1957, v. 23, p. 707, 816.
9. Вопросы квантовой теории необратимых процессов./Под ред. В. Л. Бонч-
Бруевича.- М.: ПИЛ, 1961.
10. Gardiner С. IF. Handbook of stochastic methods. - Berlin, Heidelberg,
N. Y., Tokyo: Springer, 1983.
11. Гленсдорф П., Пригожим И. Термодинамическая теория структуры,
устойчивости и флуктуаций.-М.: Мир, 1973.
12. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1969.
13. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений.- М.: Наука, 1971.
14. Де Гроот С. Термодинамика необратимых процессов. - М.: Гостехиздат,
1956.
15. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. -М.: Мир, 1964.
16. Ефремов Г. Ф. Соотношения симметрии для тензора кроссвосприимчивости.
- ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 156-164.
17. Ефремов Г. Ф. Флукгуационно-диссипационная теорема для нелинейных
сред. - ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 2322-2333.
18. Ефремов Г. Ф. Некоторые вопросы теории флуктуаций в нелинейных
системах. - Канд. дис., Горький, 1972.
19. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика.-М.: Наука,
1966.
20. Casimir Н. В. G. On Onsager's principle of microscopic reversibility.
- Rev. Mod. Phys., 1945, v. 17, p. 343-350.
21. Callen H. B., Welton T. A. Irreversibility arid generalized noise. -
Phys. Rev., 1951, v. 83, p. 34-40. 7
22. Клышко Д. H. О некоторых особенностях теплового излучения. -
Докл. АН
СССР, 1979, т. 244, с. 563-566.
23. Клышко Д. Н. Фотоны и нелинейная оптика.-М.: Наука, 1980.
24. Колмогоров А. Н. Zur Umkehrbarkeit der statistischen
Naturgesetze. - Math.
Ann., 1936, Bd 113, S. 766-772.
475
25. Крупенников Н. А. Вычисление четвертого момента равновесных
флуктуаций для одномерного термодинамического процесса в нелинейных
системах. - Изв. вузов. Радиофизика, 1975, т. 18, с. 383-391.
26. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes.
General theory and simple application to magnetic and conduction
problems. -J. Phys. Soc. Japan, 1957, v. 12, p. 570-586.
