Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
"р (к, to) = Jexp [-1 (a>t12-kr12)] <ga (rlt tj, gp (r2, i2)) dt12 dr12.
(П6.6)
3. Спектральная плотность пространственных спектров и пространственно-
временная спектральная плотность. В случае полей %а (г, i) можно
равенством
1а.к (0 = (2я)"3/2 j ехр (ikr) (г, t) dr, (П6.7)
аналогичным (12.65), определить случайные пространственные спектры для
этих полей. Спектрам (7) по аналогии с (4) (при а->¦ (а, к))
соответствует спектральная плотность
X
S,
с
a,kt. а2к:
(to) = J ^р (-/<в/12) (laiki (/,), laikl (t2)) dtl2. (П6.8)
468
Чтобы найти связь между (8) и спектральной плотностью (6), подставим (7)
в (8). Это дает
Sa,*,. a,*s (") = (2lt)"3 j exP (-'^12 + iklrl + ik2r2) X
x (?", (ГЬ ^j), gtt2 (r2, f2)) drx dr2 tfto. (П6.9)
Обозначим
*i2 = *i -*2, *o =1/2(*i +*2). г12=гг-г2, r0 = V2 (П + r2).
Тогда, как легко проверить, будем иметь
klf 1 + *2/"2 = 2*0^0 "Г 1/2*12f 12'
Подставляя это равенство в (9) и учитывая, что drtdri - dr0dr12,
произведем интегрирование сначала по г0. При пространственной
однородности флуктуаций этот интеграл становится тривиальным и дает
дельта-функцию, поскольку входящий в (9) коррелятор зависит лишь от г12
(не зависит от г0). Интеграл же по г12 и t12 берется при помощи (6). В
итоге получаем
Sa*" |3*2 И = Sap(V2*i2- ") 6 (*i + *2). (П6-10)
Здесь вместо Sap (V2*i2. to) можно поставить 50р (klt со).
4. Спектральная плотность нестационарных и неоднородных случайных
функций.
Если процесс g (t) не является стационарным, то можно ввести спектральную
плотность, зависящую от времени:
¦Sap (ш, t0) = j ехр (-iat) (|a (t0 + tj2), gp (t0 - //2)) dt.
(П6.11)
Это равенство служит обобщением формулы (4) и переходит в нее в случае
стационарных процессов. Подставляя в правую часть (11) равенство
(la ЛЬ ?р Л)> = (2л)"1 j ехр (idiifi 4- шЛ) (ga (coi), gp (со2)) rfcox
Ло2, вытекающее из (1), и производя замену переменных интегрирования,
будем иметь ¦Sap (от, t0) = (2л)"1 j ехр \i (v - со) i + ko0M X
X (ga (to"/2 + v), gp (co0/2 - v)) da>o dv dt. Сначала проинтегрируем no
t, что даст б (v - ш). Интегрируя затем по v, получаем ¦Sag (to, t0) = j
exp (ico0t0) <ga (co0/2 + to), gp (co"/2 - a))da0.
Аналогичным образом можно ввести пространственно-временную спектральную
плотность случайной функции, которая является нестационарной и
неоднородной. Определением спектральной плотности служит формула
¦Sap (*, to, г о, t0) -
= j ехр (-mt + ikr) (ga (r" + г/2, to + t/2), gp (r0-r/2, t0-t/2)) dr dt.
(П6.12)
Пользуясь ею, аналогично предыдущему нетрудно получить, как данная
спектральная плотность выражается через коррелятор спектров:
Sap (*, to, г о, t0) =
= j ехр (ftDofo - t*oГо) <?a (*о/2 + *, to0/2 + to), gp (*0/2 - *, tO0/2
- to)) dk0 do>o-
(П6.13)
Приведенным здесь обобщением (11), (12) понятия спектральной плотности на
случай нестационарных и неоднородных процессов целесообразно
пользоваться, когда
469
нестационарность и неоднородность относительно малы. Это значит, что
коррелятор (Го + Var, t0 + VaO, U (ro - U - VsO)
должен значительно медленней меняться при изменении г0, чем г, и
медленней при изменении t0, чем при изменении t.
Пр иложение 7. Стохастические уравнения, соответствующие марковскому
процессу
1. Уравнение в смысле Ито. Решая записанные для процесса Маркова у (t)
стохастические уравнения типа Ланжевена, можно находить соответствующие
ему стационарные или нестационарные моменты и корреляторы, одновременные
или многовременные.
Стохастические уравнения
ya = fa<y)+ 2 ^s)(y)S(S) (0 (П7.1)
s
(0 - дельта-коррелированные по времени случайные функции), записанные в
смысле Ито, понимаются как предел при т-0 уравнений
t+x
т"1 \Уа (* + Т) - Уа (0] = /" (У (0) + 2 а*'' {у (0) т"' J (*') dC- (П7-
2)
S t
Предел уравнений (2) символически можно записать так:
Уа = fa (У) + 2 К?' (У)]-" (0. (П7.3)
S
где [... ]_ц означает сдвиг повремени: [а (у (t))]_ll = a (у (t-р.)) (р,
- малая величина). Если вместо точных дельта-корреляционных процессов
берутся аппроксимирующие их бе-коррелированные процессы с ненулевым
временем корреляции е, то р в (3) должно быть много больше, чем е, но
много меньше, чем время релаксации системы.
Будем считать процессы (t) имеющими нулевое среднее значение и
независимыми друг от друга. Тогда их корреляторы будут иметь вид
<g(s)(0) = 0, <§(%). •••> 1Ы(*п)) = 0(п1)\...,пЧ*1...............*п),
(П7.4)
где п > 2, 6 . = 6 ... в б (*,, ..., tn) = б (*,2) б (/,3) ... б
(/,л). Приме-
X ft 1 Z L ft
няя формулу (3.18) при учете (2) и (4), нетрудно вычислить коэффициенты
кинетического уравнения:
ка (у) = fa (У), \... ап (У) = 2 °п)а"! (У) ¦ ¦ ¦ {У)' П>2- (П7'5^
S
Если уравнение (3), вводя обозначение Fa (у, t) для флуктуационного
члена, записать в виде уа = fa (у) + Fa (у^х, 0> т0 формулы (5) будут
эквивалентны равенствам
*>)• ¦¦¦. Р*п{У. tn))y =
= " ('l in) 2 Dn]M ¦ ¦ ¦ < (У)- (П7-6)
s
Здесь у = {уа} мыслятся как фиксированные независимые аргументы. Заметим,
что число функций (t) в (1) заранее не оговаривается. Оно должно
