Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
величины га = В"/р, где (х - число, конкретизируемое ниже. Подставляя Ва=
рг" в (2), получаем
оо оо
-|г-= У У ( ,1}, (kT)m~l цп~'п -i
dt L* LJ mini r dzai.
1 n-0
¦dZam
X
X 04 ... <*m, Bi... PnzBi ¦ • • V)- (Г15-4)
Чтобы конкретизировать p, потребуем, чтобы члены с tn = 1, п - 1 и с m -
2, п = 0 имели одинаковый порядок малости. Отсюда получаем уравнение 1 =
kT\x~2. Следовательно,
\х = (кТ)]/2. (П5.5)
Учитывая (5), из (4) получаем
~dt~ ~ dzIT [ 4" *4 РгВ + "2" *4 РтгРгт + ^4 ру6гргугб^ w] +
"Г ~2~ QZa [ (*4 "Ь В^ар, 7гУ + "2" ^аВ, убгУг6^ -
+ ^ +
+ ~W дгаЪ&?&л + о (Р3)- (П5.6)
Отсюда видим, что все трехиндексные члены имеют одинаковый порядок р, а
все четырехиндексные - одинаковый порядок р2. То же самое можно сказать и
о не-выписанных в (6) членах: все пятииндексные члены имеют порядок р3 и
т. д. Занимающий особое положение член К"/р в силу (3) имеет порядок р,
т. е. по своей величине должен быть причислен к трехиндексным членам.
Указанные закономерности в уравнении (6) позволяют строить различные
приближенные уравнения.
а) Линейное приближение. В данном приближении с погрешностью О (р)
берется уравнение
dw д ... . , 1 д2 ... .
1Г:= -~^т (К"' + т
или, переходя снова к В,
Сравнивая это уравнение с (3.17) и учитывая порядок величины членов
разложения (П5.6), отброшенных для вывода последнего уравнения, видим,
что
Ка (В) = Va, рВр + О (|X2Va, ругРгт) = ^а, Р% + О (р2),
Кар (В) - kTVар -|- р20 (fxVap. 7Z7) = kTVар -f- р20 (jx)
при В ~ |х. Упрощая произведенные в (7) оценки точности, можно положить
К" (В) = Va, рВр + О (kT), Кар (В) = А7Уар + о (kT)
при В - р.
б) Линейно-квадратичное приближение. В данном приближении следует в (6)
учесть еще члены порядка |.х, что дает
4r = ~ [ (frl,/" '!'Va> ргр + НГ К"- pv2pZv) +
1 д2 1 дя
+ Т [(ИаР + ^ ~ Т дГадгрдг~
Переходя здесь к переменным В, получаем
Ка (В) = Va + Va, рВр + Va^a, Pv^P^Y + ^ (В3)'
Кар (В) = fX2 (Vap + l ap, yBv) -]- p.20 (p2), К"р7 (В) = p4Vap7 + (T40
([X). при В ~ |x. Отсюда имеем
Ka (В) = Va + Va, рВр 1/2Va, p7BpB7 + О {(kT)3!2),
Kap (B) = IkT (Vap + Vap, 7BV)] [1+0 (kT)], (П5.8)
Kapv (B) = (kT)* Vapv [1+0 (("у/2)].
в) Линейно-квадратично-кубическое приближение. В этом приближении
оставляются члены, выписанные в (6). После перехода к переменным В отсюда
получим
Ка (В) = Va + Va, рВр + 1/2Va, р7ВрВ7 + 1/6Va, ру(,В$ВуВ(, + О (р4),
Кар (В) = [X2 (Vap + Ихр, уВу + V2Vap, у&ВуВ§) + р20 ([X3),
Kapv (В) - fX4 (Vapv + ^арт, pBg) + p40 (p2),
KaPv6 (B) - (X6VapY6 + Ц60 (fl) при В ~ |x. Следовательно,
Ka (B) = Va + Va, рВр + 1/2Va, $yB$By + V6Va, Pv6^P^Y^6 + (r) ((KE)2),
Kap (B) = kT (Vap + Vap, 7B7 + V2V"p, y6ByB6) [l + 0 ((*Г)3',2)[,
Карт (В) = (/гК)2 (Vap7 + VapY, 6 "б) [1 + О (/гГ)], (П5.9)
Карте (В) - (AT)* V"pY6 [1+0 {(kT)1!2)}
при В ~ fx. Из (8), (9) видно, что функции Ka (В) в линейно-квадратичном
приближении, а также Ка (В), Кар(В) в линейно-квадратично-кубическом
приближении требуют большей относительной точности определения: их
относительная погрешность должна быть о (kT), в то время как другие
функции имеют большую относительную погрешность О (kT) или О ((kT)x!2).
Приложение 6. Спектральные плотности и связанные с ними формулы
1. Определение спектральных плотностей. Если имеются случайные функции
Si (t), §2 (t), ..., Е,. (0, то соответствующие случайные спектры
определяем формулой
ОО
Еа (со) = (2nyxl2 j ехр (-(col) (t) dt. _ (П6.1)
- ОО
467
Sto преобразование является унитарным. Предполагая, что случайные
процессы стационарны и стационарно-связанны, определяем спектральные
плотности Sax... a, (coi, ..., (о,_х) формулой
(Saj (ы])> • • • > ?as (ws)) - Saj . . . as (wl> • • •> Ws-l) 6 (tOj + •
• • + (О,). (П6.2)
Из (1) вытекают равенства (iai (Wi), • • •> |as (ws)) =
= (2я)"5/2 j exp i ^ COa^a j (iaj {h), • • •, la, (?,)) dtj, . . . dts.
Пользуясь ими, нетрудно получить, как связаны между собой спектральные
плотности и корреляторы во временном представлении:
Sax ... as (%, • • ¦, W.c j) =
= (2л)1_,/2 j exp ^ i 2] (Oatag'j (gaj (tT), . . ., gas Us)) dtT .
. . dts_j (П6.3)
(ias = ta - ts). В частности,
OO
Sap (to) = j exp (-iwt12) (ti), gp (t2)) dt12. (П6.4)
- OO
2. Пространственно-временные спектральные плотности. Когда случайные
функции зависят не только от времени, но и от трехмерного радиуса-вектора
г, случайные спектры определяем так:
' 1а (к, со) = (2л)"31 ехр (-iat -|- ikr) (г, t) dtdr. (П6.5)
При этом спектральные плотности Sai...as(ki, colt .... fcs_i,
(os_x) определяют-
ся формулой
(|аг (*,, (Ох), . . ., gas (?,, со.,)} =
~ Sai ¦¦¦ as Wl' • • •> *s-i. ws_i) ^ (&i + • • • + ks) 6 (cox -)- • • •
-|- to,).
Теперь по аналогии с (3) можно получить соотношения, связывающие
спектральную плотность с пространственно-временной корреляционной
функцией:
Sai,..as(^x, (Ох, . . ., ks_i, (Os_x) =
Г s-1
= (?n)4-2s j ехр - i 2] (oWas - каТas)
X ^?ct] (ri, ti), • ¦ ч (^*s> ts)) dr18dtis . . . drs_it s dts__it s.
Если здесь положить s = 2, то будем иметь
