Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
функции ср (у) = f (у) ty (у), где f (у), ф (у) - произвольные функции,
имеем
ехр (vd/dy) [f (у) ф (у)] = f (у + v) ф (у + v) (vd/dy = vad/dya) или
ехр (vd/dy) [f (у) ф (у)] = f (у + v) [ехр (vd/dy) ф (i/)]. (П3.1)
Вследствие произвольности ф формула (1) эквивалентна такой операторной
формуле:
ехр (vd/dy) f (у) = f (у 4- v) ехр (vd/dy). (П3.2)
Здесь у мыслится как оператор умножения на у. Входящие в (2) операторы
dldya, jrp удовлетворяют перестановочному соотношению
Точно такому же перестановочному соотношению удовлетворяют операторы -у^.
и d/dy$. Поэтому по аналогии с (2) обязано выполняться равенство
ехр (-vy) f (didy) = / (д/ду + v) ехр (-vy). (ПЗ.З)
В самом деле, сдвиг аргумента функции f в (2) и (3) обусловлен
исключительно некоммутатианостью операторов, а пара д/ду, у имеет такую
же некоммутативность, как и пара -у, д/ду'.
Пусть теперь имеется функция f (?, г|), представимая интегралом Фурье:
f (5. Л) = J ехР (!'"<х?а) g (и, т)) du. (П3.4)
Подставим вместо ? вектор д/ду, действующий левее у s тр В силу (4) будем
иметь
No, у/ (д/ду, у) = j ехр (iuad/dya) g (и, у) du.
Отсюда, применяя (2), получаем
Nd, у/ (д/ду, у) = | g (и, у + iu) ехр (iuad/dya) du. (П3.5)
463
Порядок действия операторов д/ду и у в правой части (5) обратен тому,
который указан в левой части. Вводя символ Ny g этого обратного
упорядочения операторов, имеем
Мд, у! (д/ду, у) = Ny> gf (д/ду, у), (П3.6)
где
f (S. 'П) = f ?(". т] + iu) ехр (?u|) du.
Последнее равенство можно записать так: f (S. 11) = | ё (и, 11 + -щ-) ехр
(iul) du
ИЛИ
д2
f (?, 11) = ехр / ^ "agaVila ) I ё Л) 6*Р ^ ^ ' (ПЗ-7)
\ а '
:ольку
г(и- Ti+i-)=expfS^
\ a
: дг\0
?("> Л)-
Здесь опять использована формула (6.32). Если теперь учесть (4), то из
(7) будем иметь окончательно
f (I, 11) - ехр \ [(%, 11). (П3.8)
Если функция f (?, ц) не представима в виде интеграла Фурье (4), то ее
можно рассматривать как предел представимых функций. Для допредельных
функций формулы (6), (8) справедливы, следовательно, они будут
справедливы и для предельной функции.
Приложение 4. Приближенное вычисление функций, связанных с Ф (дс)
Функция Ф (л:) определяется формулой (11.11) или, что то же самое,
формулой (П1.1) при ЧС (В) = F (В). Используя (П1.5), при х = ?7\ имеем
Ф (х) = F (во (х)) - хВо (х) + i/2kT Tr In И f ap || + О ((kT)2),
(П4.1)
где Faр = d2F/dBadBfi при В = В0 (л:); 5° (л:) определяется равенством
dF (В)/дВа =, ха при В = В0 (х). (П4.2)
Возьмем обусловленный изменением л: дифференциал от функции (1).
Используя (2), имеем
йФ = -Во (х) dx + 1/21гГ d Tr In || Fap || f О ((1гТ)*).
Но d Tr In М = Tr (M^dM), поэтому
do = -в°а (X) dxa -ь 1/2^f-1p dFра + 0({kTf). (П4.3)
Имеем
dp (В0 (л:)) ^ дВу
дВ$дВадВу V(,l- Р№У дх& d б- ( }
Но зависимость В° (л:) обратна зависимости х = dF (А)!А, следовательно,
дВ%!дхй = F~\. (П4.5)
464
В силу (4) и (5) равенство (3) принимает вид
= -В(r) dxa + 1/ikTFa^Fa^Fyl& dx6 + О ((kT)2).
Отсюда получаем
дФ/дх^ - -Bg (х) + 1'гбТ'б'бубуа.рб'ар + О ((kT)2). (П4.6)
Обозначая
<">""" М (F""W-""), (П4.7)
приведем (6) к виду
<5Ф (х)/дха = -В?а(х)+-kTua(Ef>(x))+ 0((kTf). (П4.8)
Определим зависимость %а (В) = ха как зависимость, обратную Ва = -
дФ(х)/дха. Будем искать ее в виде
%а (В) = 3F (В)/дВа + kTva (В) + О ((kT)*), (П4.9)
аналогичном (8). Следовательно, справедливо равенство
Ха (-дФ/дх) =
или, если учесть (9),
3F / дФ (х)
Ж ( to) + kTva {В° {х)) + 0 {{кт =
Подставляя сюда (8), получаем
тк(В0) ~ 'дкш~{В0} kTUy т + kTva т + 0 {{кТ)2)=*а (П4-10)
(В° = В0 (лс)). Но 3F (В0 (х))/дВа = ха в силу (2), поэтому (10) дает
или, если учесть (7),
" ,ГГ) 1 ^В(В) г-Чт
В) 2 дВадВ^дВу Р^-
Тем самым функции (9) в выбранном приближении найдены.
Приложение 5. Анализ степени влияния отдельных членов кинетического
уравнения
Введем обозначения
v д/п+пУ(у, В)
Уах... ат, 3l ••• дуа1...дуатдВ^...дВ?1п (
при у - 0, В = 0. Представляя кинетический потенциал V (у, В) в виде ряда
Тейлора с Коэффициентами (1) и подставляя этот ряд в (5.8), получаем
такую форму записи кинетического уравнения:
ОО ОО
-Ж = 2 ?1ШГ w1 h... "А... ЗД.
т=1 п=0
(П5.2)
465
Мы предполагаем, что равновесные средние (В) равны нулю. Тогда из
равенств х" (0) = 0 (см. (Ю.8)) будет вытекать, что величины Va малы. В
асимптотическом приближении, когда
V (у, В) - R (у, dF (В)/дВ), Ка (В) = ха (с)F (В)/дВ),
они равны нулю, поскольку dF (А)!дАа = 0 при А - 0 в силу предполагаемого
равенства (Ва)рав = 0. Мы считаем, что изображение R (у, х) имеет чисто
макроскопический характер, его коэффициенты не зависят от малого
параметра кТ. Тогда коэффициенты (1) кинетического потенциала будут слабо
зависеть от кТ. В силу сказанного величины Va имеют порядок о (1). Более
того, используя равенства (11.29) или (11.30), а также (11.2), (11.3),
можно убедиться, что
Va = О (кТ). (П5.3)
Чтобы сделать относительную величину входящих в уравнение (2) членов
более наглядной, изменим масштаб переменных Ва, вводя пропорциональные им
