Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
In (c)t (iu) - тф (iu). (4.11)
37
Сопоставляя (11) с (9), нетрудно видеть, что ух и gx (z) должны быть
пропорциональны т:
Vt ¦= ViT, g (:) й, (2) i. (4.12)
Процесс с независимыми приращениями является марковским.. В самом деле,
рассмотрим приращения
А/,- У (th) У Oft-1)> Aft~i У (tk-i) У {hi~2), • • ¦ ?
л2 = У {ti) - У (t-i)
(th > h-\ > > О- Имеем
y{tk)=y (h-i) + Aft! У (th-2) = У (^й-i) - Aft-ъ У (4-з) У (tk-i) Aft-i
¦ j
У (ti) - У (tk-д - A/i_! - ... - Д2. (4.13)
Условное распределение да (г/ (/Д | у (th_ 1)), следовательно,
определяется распределением да (А,г). Добавим к условию фиксированного у
(tk-i) условие у (th_2), которое в силу второго равенства (13) фиксирует
приращение A/,j. Но в силу независимости между Ak и АЙ1 знание АЙ1 не
уточняет Aft, а следовательно, и у (th). Иначе говоря, вследствие (13) из
равенства
да (Ай | Aftj) = да (Aft)
вытекает равенство
w (У (\) | У (к-1), У (tk-i)) = w(y (к) I У (th-1)).
To же самое относится и к прочим приращениям. Из равенства
да (Дй | Aft_b . . ., Д2) = да (Aft)
вследствие (13) вытекает равенство (3.4), которое служит определением
марковского процесса. В отличие от общего случая марковского процесса,
однако, в случае независимых приращений характеристическая функция (3.8)
теряет зависимость от у'.
Перейдем теперь к основному кинетическому уравнению (3.14). Учитывая (11)
и (3.8), из (3.13) после предельного перехода т-v О будем иметь
Ф (п) = Ф (п), (4.14)
так что кинетическое уравнение (3.14) принимает вид dwx (у | у")/дг = ф
(- д/ду) wx (у | у").
При этом вследствие (11), (9), (12) имеем
ОО
Ф (v) = ф (п) = Kuva + j (еиг - 1 - vz) z~2gJ (z) dz, Re v = 0.
*-*00
(4.15) Здесь мы поставили /С* вместо Yi"- Легко видеть, что это можно
сделать, если сопоставить (15) и (3.19). Функция (г), входящая в (15).
38
согласно (7), (12) обязана удовлетворять аналогичным же соотношениям:
оо
gi (г) • о, j g1(z)dz<?<x>. ¦ (4.16)
-оо
Если бы (15), (16) были несправедливы, то какие-то связанные с процессом
у (t) законы распределения потеряли бы свою неотрицательность.
3. Произвольные марковские процессы. Вернемся к общему случаю
стационарного марковского процесса. Законы распределения приращений у (4)
- у (4) в этом случае, строго говоря, не являются безгранично-делимыми,
но они являются приближенно безгранично-делимыми при достаточно малых т =
4 - 4-
Зафиксируем момент времени 4 и будем менять 4 -= 4 ~г т. Распределению w%
(у \ у") = ауд, (у \ у") соответствует характеристическая функция 0т (ш j
у"), определяемая формулой (3.8). Зафиксировав некоторое значение т0,
построим семейство функций
0Т (iu | у") = [0то (ш [ y")]t/T°. (4.17)
Эти функции формулой типа (3.8) связаны с семейством функций w'r (У I
у")- Записав обратное преобразование, имеем
оо
"4 (у | у") = (2л)-г j ехр [- /и (,у - у")] [0то (iu | у")Г/т"du- (4 •
18)
--оо
Поскольку распределение wx" (у | у") не обязано быть безграничноделимым,
функция (18) при т0/т = п не обязана быть распределением вероятностей, т.
е. не обязана быть неотрицательной. Она не обязана быть неотрицательной и
при других значениях т, кроме значений т - т0, 2т0, Зт0, ... При этих
значениях она обязана быть неотрицательной, поскольку распределение
случайной величины у (4 + 4)) - У (4). а также распределение суммы любого
числа независимых случайных величин с тем же распределением, что и У (4 +
го) - У (4)> неотрицательны. Напомним, что композиция распределений
вероятности есть распределение вероятности.
Перейдя в (17), (18) к пределу т0 -к 0, рассмотрим функции
(c)т (iu | уГ) = lim [0Хв (iu | у")]Ч\ (4.19)
То->0
ОО
^^ I"/") = (2.тт)-r j ехр [- iu (у - у")] 0Т (iu | у") du. (4.20)
-оо
Если функция (20) непрерывна по т, то она обязана быть неотрицательной
при любом т. В самом деле, в процессе предельного перехода ->- 0 точки т
= тт0 (т - натуральное число) будут все плотнее располагаться на
полупрямой х > 0. Какое бы ни было зафиксировано значение т = т' > 0 в
(18), расстояние от т' до ближайшей точки множества /пт0 (в котором
функция w'x (y\y") неотрицательна) будет стремиться к нулю при т0 -*• 0.
Следовательно,
39
(У I у")ъ фиксированной точке т' неотрицательна в силу ее непрерывности
по т.
Из доказанной неотрицательности функции (20) вытекает и безграничная
делимость каждого закона распределения w% (у | у") и тот факт, что
распределения (20) можно трактовать как вероятности перехода некоторого
стационарного процесса у (t) с независимыми приращениями. В самом деле,
нетрудно видеть, что функция (19) удовлетворяет условию (10). Данный
процесс с независимыми приращениями у (i) можно назвать "касательным" к
исходному марковскому процессу у (t) в точке /j.
Подставляя (19) в (11), найдем функцию (14), соответствующую процессу у.
Получаем
ф(ш) = Нт То1 In 0Т" (iu | у"). (4.21)
х0^о
Но предел (21) совпадает с пределом (3.13), поэтому
Ф (iu) = Ф (iu, у"). (4.22)
Для процесса у (/), как для всякого процесса с независимыми приращениями,
