Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
записывается так:
рС/12, 3 - -02 /У2-72^/1. 23 - 01^U[J\U2, 13 -
- (//!0Г - г p^t) pj'JxJM, .2- (34.61)
Здесь верхние индексы не выделяются. В. неквантовом случае (61) принимает
вид
Hl2, 3 = -kT (U2J2U1, 23 "j- Н1/1Н2, 13 - J1J0J3U3, 12)-
6. Второе квадратичное ФДС. Для отыскания функции U123, входящей во
второе равенство (56), следует в (55) положить gn = 0 и при подсчете
коррелятора (g\, gf, g%) учитывать члены порядка (kT)2, содержащие Rk?m
или произведения типа RkVRmn¦ Используя (55) и (20.44), в квантовом
случае получаем
С/,23 = -2~3/2 (1 - ?/,) (1 - U2) (1 - U3) 2 Т}а)ТПа)Д№ -
О
- 2-5/2(1 - и г) (1 - U2) (1 - ?/3)'S [гш (1 -Us) {T^RiVT^RiV +
сг, X
+ T^rWtPr(r)) + Т$ (1 - иъ) (t^rWt^r^ +
14 Р. JI. Стратонович 417
+ Ti^R^T^RlV) + Tffl (1 - Us) PuT^rWt^rIV) + -f 2~2 2 [(1 - U2)(l - U3)U\
, 45Г4°)Г2<7)7'5Т)7'зТ)^42)^53) +
о, т
+ (1 - ?/,) (1 - U3) U2, ^T^T^T^RlVRg + + (1 - Ux) (1 - U2)U3,
457f)7,{0)7f >7f'дМ?]-
Учитывая третье равенство (20.47), т. е. равенство 2
T{a)T(2a)T{3a)R{2l=Zm, а также (58), (59) и равенства
О
2 T^Tia)R\a2)=Zr2.3 Е= <В. зРзЛ
^ 7¦>(в)'р(о) п(о) 7+ _ л-|- -1 (34.62)
Zj 1 243' 1 А14 -^21, 3 = V21, ЗРЗ >
о
которые в силу (21.51) эквивалентны (20.52), отсюда имеем
иш = -2-^ (1 - U^ (1 - и3) (1 - и3) Z123 -
- 2~3/2 [(1 -"/,)(! - U2) Z12,5П53 + + (1 - u{) (1 - и3) (гг*, 5n52 + ZiU
sC/25) +
"Г 0 ^2) (1 U3) Z39,JJis\ I ¦ Ui. 45 (1 (/4) 1 (1 - (/5) 1 U - -
+ ?/2. 45 (1 - Н4Г1 (1 - f/s)-1 UuUss + Us. 45(1 ^Г1 (1 -П5)-1 t/ut/25.
Подставим сюда (20.70) и равенства
Zj|, з - (Z\. 23 - pips lZl i2), (34.63)
вытекающие из (20.57), (20.7) и указанной в (62) связи Z±i3c<3f2)3.
Используя, кроме того, (18) и (52), получаем
P2Hi23 = У2Уз02 03 Ui. 23 -4- ATiAT201^(c)3 U2, 13 -(- А'201*_02_?/з, 12 -
f--j- Xi02 (c)3 Ui. 23 -f- y2(c)i,~03 U2,13 + Х3(c)+(c)+Уз, 12 -
- Уз(c)3 [Уг(c)2 Ui. 23 + X\(r)tu2, 13 - (/?1(c)2 + /02(c)1*~) Ръ 1U3, 12] - - N2
[Уз(c)2 (c)3 Ui. 23 -j~ ATi(c)l' (c)2~(/з, 12 -
- (/"(c)7(c)3~ + Рз(c)^(c)2+) P2lUl 13) - N&t [X&U2.31 +
-f- X2@fU3,12 - (/?2(c)з -f- p3(r)t) pi lUu 23] "Ь УгУз(c)2 (c)з Ui, 23 ~b
+ NiN3QtesU2. ,3 + У,У2(c)^(c)2+Уз, 12, (34.64)
где обозначено
X, = (l~U,){l-l/])~l, У, = (1-ад)(1~^Г1. (34.65)
Входящие в (64) члены, содержащие выражения типа (/?*(c)f(c)m + + P&k(r)m)Pm\
можно упростить, используя тождество
/?1(c)2~(c)3~ + P2(c)il (c)Г + p3@t@t = 0 (34.66)
418
при Pi + р2 + Рз = 0, эквивалентное (16.73). Приводя в (64) подобные
члены при учете равенства Xt - Nt = -Ub находим
fUm = 0Г0Г (U2P3U1,23-C/iC/r. 23) -h &teT(UxU3U2, ,3-UJJl ,3) +
+ 0M (C/1C/2C/3. Г2 - ,2). (34.67)
Это и есть второе квадратичное ФДС. При переходе к ковариантной форме
выражение U2OsUU2s- CAi/J, 2S нужно поменять на такое:
П2 4/45Пз 6ад 57 - П;,4/25/36 (Пф56)".
Применяя форму записи, аналогичную (61), будем иметь
Р2С/123 = (c)2 (c)3 (У>J УУ :У1, 23 - U1J2JзС/j, 23) Г
-|- 0^(c)з (UiJ 1U3J3U2,13 - U%J 1J3U2,13) -)-
+ 0^024 (UiJiUiJJJa. 12 - t/3/ад, 12)- (34.68)
В неквантовом пределе операторы 0± обращаются в единицу и найденное ФДС
принимает вид
Р2С/123 === R (123) (П2/2U3JJJ1, 23 - U1J2J3U1, 23)'
7. Измененное стохастическое представление. Вместо (55) можно
использовать такое стохастическое представление:
gl -Uxgi + 11У1,23g"g3 + ? (?i<a) + (34.69)
СГ
похожее на (20.43). Сравнение (69) с (55) дает равенства
= _2-1/2 (1 - Ux) [тГ^.<а) + 2~xT\lll^ (1 - Щ ? 7W] +
+2 ад, и 2 т{2а)т^йа)йх),
О, Т = ад (1 - t/i) (1 - Пз) + 2-'/2t/i,
Согласно приведенным выше выкладкам при данных выражениях имеем
2 ft."". й")=иа,
СГ, т
2(5мз(йа)" ?2Т)) + ^243 (?1<Т)> da)))=Hi23, (34.70)
о, т
2 <й0), йт), йл)>=ад
а, т, л
Обозначим
ПГ2,3 = 2 s.(4a3 (da), ЫХ)), Uti. 3 = 2 (йх)> da)>. (34.71)
a, % a, т
так что
С/12,з=?А5,з + ад- (34.72)
Тем же способом, каким было получено (60), можно найти
t/,1.3 - -(c)2* (ад. 23 + лаХ 12). (34.73)
14* 419
Очевидно, что при этом (72) и (73) согласуются с (60). При переходе к
соотношению (61) равенство (73) следует заменить на соотношение
и&. 3 = -02* {U2J-jJ, , 23 + PxpfhJM, 12)- (34.74)
8. Полные (безусловные) корреляторы уходящих волн. Применяя (69), а
также (70), (71), можно найти безусловный тройной коррелятор (g'{, gl,
gl), соответствующий тому случаю, когда gn является случайным и даже
операторным. Обычным способом в выбранном приближении находим
(gJ, gl, gl)- U,." UU,..(g{, g$) + U2(Ur3.*<g", g") +
+ ^3"l.4<g2, g?>) -\-UlU23.i(gl, g?) + + U2UJJi,i6(gi, g2)(gs, ?з') +
Д1Д3Д2,45 (gf, gi)(gs> gs) + + UlU2U3,i5(g^ g?)<gj, gu5) + ViV2Vs(g",
gn2, gs)- (34.75)
Сюда следует подставить (60), (67), (73). Для конкретности рассмотрим тот
частный случай, когда gn соответствует равновесным флуктуациям при
температуре Т0, в то время как рассеивающее тело имеет температуру Т. В
этом случае в силу (24) (при J12 = /12) имеем
(gi, g2) = kTSt (То) In, (g\, g'2, gs) = 0. (34.76)
Тройной коррелятор равен нулю в силу гауссовости равновесных тепловых
флуктуаций в линейных системах. Подставляя (76) и формулы из предыдущего
