Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующую конечным объемам.
В рассматриваемом случае равенство (29) принимает вид
Va<[fiOi). fiC,(<B2)]+> =
= &бТ (1 - G1U2) @i6a,a26 (tli - tl2) 6 ((Di ф- (Ог)-
Используя (33.23) и (33.26), нетрудно проверить, что последняя формула
эквивалентна равенству
Va <[*Г (ЛО. ёТ (Л2)]+)(±) = кБТ (1 - ищ vQMb (ki -f- k2).
Положим здесь р - а и к2 - - kx и подставим полученное равенство в (50).
После этого будем иметь
1-1 X
ц"зл (k) = (8л3)-1 къTv (kz/k) ( 0 (ikv) - [б (0)]
X 2 j dk2 dk^U<z, P (Л, k2) Ga, у (-k, -fcj 0 (ikzv) 6pY6 (ki - k-i) P.v
414
Принимая во внимание равенство (42), взятое для случая равновесно
флуктуирующих падающих воли, отсюда получаем
н"зл (к) = (8л3)-1 v j (kz/k) (l/2hku) cth (V,ftpb) -
Если это выражение проинтегрировать по Л и просуммировать по а, т. е. по
различным поляризациям волн, то получим полную мощность (47). В процессе
интегрирования полезно перейти к сферическим переменным, а затем и к
переменной со == ku. Учитывая также (33.34) и (33.35), будем иметь
^изл = J "3 cth (а^г) п*А (С°' ^ dQ'
где предположено, что А., (со, п) - А (со, п) не зависит от у; s - число
различных возможных поляризаций, которое в случае поперечных
электромагнитных волн (в силу (33.24)) равно двум. Последнее равенство
выражает интегральную форму закона Кирхгофа. Можно получить и другие
формы, аналогичные (38) и (40). Дифференциальный закон Кирхгофа имеет вид
иизл (со, я) sftco3 Йсо
А (со, я) ~ 16л*е2 С ~Щ?Г Пг'
где в правой части стоит универсальная функция, а "изл (со, tl) - ? "Г
((со/и) п).
а
5. Первое квадратичное ФДС. [Разрешая (6) относительно gy, в линейно-
квадратичном приближении будем иметь
gГ - ад -f 2~3/2 (S,Z,S, + A)"1 S,Z,, 23 (А - u2) (h - Пз) gn2gl
(34.51)
Сравнение (51) с (33.27) дает
Uu 23 = 2-'/з (SjZA + A)-1 SA, M (/2 - H2) (/3 - ?/3)
или, если учесть (8) и для краткости матрицу S считать единичной,
г/1>и = 2-з/2 {Ii _ ^ Ziii# (/г _ Vi) (/з __ ^з), (34.52)
Теперь примем во внимание возникающие при рассеянии флуктуации.
Подставляя (3) в (13) и снова разрешая полученное равенство относительно
g{, при использовании (8) и (52) будем иметь
"Г = ад - 2~5/2 (л - г/,) гг, + 2~1UU 23 ($ + 2"1/2^) X
х(гзп+2-,/2гг3)+-.- (34.53)
Входящие сюда случайные силы & определяются стохастическим представлением
(21.50). Подставляя второе равенство (3) в (21.50),
415
а также используя (53), нетрудно получить
in = мн - 2 [T\Vii0) !- 2-',2т\%&а) (/з - и3) {gi 2~'12&3)] -ь...
о
(34.54)
Если подставить (54) в (53), то будем иметь такую рабочую формулу:
гГ = ад-2-1/2(/1-1/1)2 \Т\0)1\в) + 2~и2ТШйа){13-С/з) X
X (g5 + 2-I/2i:^T)gT,)J +2-'t/1>23 (g? + 2-'/2 2ТПГ) X
х (34.55)
Малая константа Мх ~ kT здесь опущена, так как не влияет на последующие
результаты.
Будем использовать полученное равенство для вычисления корреляторов
удаляющихся волн. Напомним, что |(0>, входящие в (55), - независимые
случайные функции, имеющие нулевое среднее значение и корреляторы
(20.44). В квантовом случае они имеют операторный характер. Входящая в
правую часть (55) функция g" в квантовом случае также операторная. Однако
вместо операторной функции подставим с-функцию, которую будем обозначать
той же буквой, и зафиксируем ее значение. После фиксации gn можно найти
условные корреляторы
{gl , gl)gn = U\2 + U\2, zgz + ¦ • • > {gif §2 " gl)gn = ^123 + • . •
(34.56)
Чтобы найти {gf, gt)gn в первом приближении, которым мы ограничимся,
достаточно учитывать лишь члены порядка ИТ, содержащие корреляторы <?(0),
?2а>)- В этом приближении в (55) нужно учесть лишь члены, линейные по
Несложный расчет приводит к результату
и 12. з=2"3/2 (/, - Ui) (/2 - и2) Ц {тШт(2а)я$ +
<7
+ TttlT^RW) (h - и3) - 2-1 (12 - и2) ии 43 2 Tia)rta)R№ -
а
- 2-' (/, - Ui) и2.43 2 T\a)Tia)R[?, (34.57)
причем
и 12 = 2"' (/, - Ui) (12 - и2) 2 T^Ti^RW. (34.58)
а
Учтем вторую формулу (20.47). Согласно (21.51) и (20.69) она принимает
вид
2 {Tlt№a)R\V + T$T[a)R[V) = Zi2.3- (34.59)
О
416
Вследствие (58) и (59) равенство (57) можно привести к виду ?/и, 3 = 2-
3/2 (/i _ Vi) (/2 _ г/2) Zi2) 3 {1з _ t/3) _
- ад (А - А4) 1Т/<2 - А2, 43 (Л - А4) 1 А14.
Подставляя сюда вторую формулу (20.70) и (18), получим
|Д/12, з = 2"3/2 (1 - г/,) (1 - U2) [QTZU гз + В^2,13 -
(/>102 -ф- //20|^) 7*3 '2з, 12] (1 - Нз) - 02 U\, 43 (1 - П4) 1 X
X (/-12 - U45U2Г>) - 0М, 43 (1 - U,|) ' (/|4 - Uir>U4о)
или, если использовать (52),
р?/12,3-(1 _г/2)(1 -П2Г1 (c)Ф'Пьаз ьп - f/i)(i - г/т)-1 (c)г?/2,ai -
(//102 "Г //201Г) Pi 'Пз, 12 - (1 - П2П2) (1 - Пг) 02 Hi, 23 -
-(1 - ад)(1 - ад1 eft/a. ,3.
Отсюда после сокращений находим
рС/12, 3 = -02 UoU\t 23 - (c)ТТЛ/А, 13 - (/>102 + />201^) />3 '/Д, 12-
(34.60)
Это и есть искомое первое квадратичное ФДС кирхгофовского типа,
соответствующее временному представлению. Из него нетрудно получить
ковариантную форму
р?/;2? = -вти2,4745П;,53 - etUi?J45U2,53 -
- (//102 f //20l) pT'JuJrJ* (Пв45)В.
Короче данное соотношение, справедливое в любом представлении,
