Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Переменные Л, J, gn, gy, входящие в (3), можно трактовать как случайные
или (в квантовом случае) операторные. Подставляя (3) в (14), получаем
gl + gl + 21/25t = S,Z,S, (gl - gl).
Разрешая это равенство относительно gy, находим gl = (SiZ,S, f ТГ1
[(S,Z,S, - h)g? - 2,/2S,ff,].
Если учесть (8), то полученную формулу можно записать в виде gl = Uigl -
2-1/2(/1 - UDS&x. (34.15)
408.
Используем данное равенство для того, чтобы найти коррелятор уходящей
волны. Если падающую волну считать фиксированной и вычислять условный
коррелятор, то будем иметь
^12 = {gl gl)gn = V2 (/l- (/2 - U2) S1S2 (&\, $2)¦ (34.16)
Коррелятор (20.21) случайных сил & определяется формулой (20.24). Ее учет
дает
Ui2 = l/2kT@2 (/,-U\)S\(Z\'2 -У Z2,\)S2{h- (34.17)
Теперь примем во внимание вытекающую из (8) формулу SZS =
= (/ - иу1 (/ + г/).
Вследствие нее имеем (I -U)S(Z у ZT)S(I-Uy =
= (I + U)(I- t/T) f (/ - U) (/ -f t/T) = 2(1- UUy, и поэтому из (17)
находим
Ul2 = ЛГ0Г (/12 - i/iaC/ja) = ЛГ0Г (1 - UXU2) 1ц. (34.18)
Легко понять, что полученное равенство в ковариантной форме, т. е. в
форме, пригодной при любых представлениях, записывается так:
Ul2 = kTQ2(l-UiU2)Ji2, (34.19)
или более подробно
un = kmy(jX2~u\!uhUv)-
Из (19) можно найти и симметризованный коррелятор:
UUm = (?/12 + i/21) = kT&2 (1 - i/,i/2) 7,2. (34.20)
Используя равенство (15), нетрудно найти также безусловный коррелятор:
{gl gl) = U>U2 {gl gl) + 2_I (/, - t/0 (I2 - U2) SA <#,, &2) -- 2 1/2t/1
(/2-i/2)<^2) - 2 1/2(/! - Ui)SxU2(gu gl), (34.21)
причем корреляторы (gn, cf) обращаются в нуль вследствие статистической
независимости между gn и &. Дело в том, что в стохастическом
представлении (20.43) функции являются инновациями, т. е. описывают вновь
возникающие флуктуации, которые статистически независимы ни от чего, что
было до этого. В рассматриваемом случае они возникают в рассеивающем теле
и не зависят от приближающихся волн gn. В линейном приближении равенство
(20.43) сводится к равенству <8Х= ^Si2)i2<1). Следовательно, в этом
приближе-
а
нии gn и & статистически независимы. Опуская перекрестные корреляторы, из
(21) имеем
{gl< gl) =^№2 {gl gl) + {gl, gl) =
= UiU2 {gl gl) + kT&T (1 - U&2) 7,2. (34.22)
Здесь приняты во внимание (16) и (19).
409
Используя найденную формулу, можно найти равновесный коррелятор (gj1,
gy)0, соответствующий фиксированной температуре Т. Будем предполагать,
что все падающие волны соответствуют равновесным тепловым флуктуациям при
температуре 7, такую же температуру имеет рассеивающее тело. Тогда все
волновые системы будут находиться в состоянии теплового равновесия, и
удаляющиеся волны также будут представлять собой равновесные флуктуации,
соответствующие той же температуре. В силу равноправия направлений при
тепловом равновесии флуктуирующие волны, идущие в различных направлениях,
должны иметь одинаковые статистические свойства. Поэтому
<?b *2>0 = <gi. gX , (34.23)
Учитывая (23), из (22) получаем
(1 -ад)<^, g2)0 = kTe^(i -г/,г/2)у12.
Отсюда вытекает, что
<?ь g'!)o = kT(^Jv2 = kTefjl2. (34.24)
Следовательно, симметризованный коррелятор имеет вид
Vato g2]+>0 = *70,7,2. (34.25)
Теперь предположим, что падающие волны есть равновесные флуктуации,
соответствующие температуре Т0, не совпадающей с температурой 7
рассеивающего тела. Из (22) при учете (24) для этого случая будем иметь
<?ь gV) = kTaQV{T0)UlU2JX2 + kT@2{T)(\-U,U2)J,2. (34.26)
Формула для симметризованного коррелятора имеет аналогичный вид:
Va <[??, gU+) = UMkT&i (To) Ji2 + (1 - UXU2) ?70i (7) Jl2.
(34.27)
Здесь согласно принятым обозначениям
0! (7) = (ihpJkT) Г, (7) = [inpj(2kr)\ cth [ihp^kT)}.
Полезно указать, какой вид имеет функция 0Х (7) /12 в спектральном
представлении:
01 *712 = [?coi/(2?T)] cth [?(c)i/(2?7)] 6 (coi + (c)2) 6SlS2. (34.28)
В заключение этого пункта отметим, что из (26) можно получить средний
коммутатор:
to ?2У]> = kT (вТ - вГ) (?/i?/2 + 1 - ищ Jx2 = inPlJx2.
Это равенство согласуется с (33.31).
3. Спектральная плотность излученных волн и переход к обычному закону
Кирхгофа. Равенство (15) коротко можно записать так:
??=ад+*г,
410
где U^g* - рассеянные волны, a g"3n - излученные волны. При этом
выражение (20) можно интерпретировать как симметризован-ный коррелятор
излученных волн:
V. <[*"", gr*h) = kT(l - UiU2)QxJl2. (34.29)
Если ввести спектральную плотность излученных волн
S?? (со) = j ехр (-Ш12) • У2 {1ёТл (ti), g(tm)" (t2)]+) dtl2, .
(34.30)
то будем иметь
V2 <игл (со,), gT Ы]+) = 5!".л (со,) 6 (со, + со2) (34.31)
по аналогии с (П6.2). Взяв равенство (29) в спектральном представлении и
подставив в его левую часть равенство (31), получим
S&* (со,) 6 (со, + со2) - kT (1 - UiU2) 0,7,2. (34.32)
Вследствие (28) входящую сюда дельта-функцию б (сох + со2) можно
сократить.
Рассмотрим теперь энергию излучаемых волн. Из формулы (33.13) видно, что
J] Lgf (0]2/2 имеет смысл энергии или, точнее, мощности
S
удаляющихся волн. Аналогично
ЛГл = 1/2 I! <ьизл(0]2> (34.33)
