Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
=
S2S3
00
= C У] j d(d2Rs, s,((r). (r)з)<[gss((r)2), gl (-'co2)]+>- (33.39)
s2 0
Конечно, это равенство справедливо не всегда, поэтому и равенство (33)
можно использовать не всегда.
§ 34. Линейные и квадратичные ФДС (обобщенные законы Кирхгофа)
1. Соотношение взаимности. Будем выводить ФДС в кирхгофо-
вой форме для того случая, когда для каждого фиксированного s справедливы
формулы (33.8). При этом результаты будут иметь общее значение, так как
равенства типа (33.8), точнее, равенства
hs (?s, t) = (Rs/2)]/2 [gs (t + Zs/Vs) gYs (t - Zs/Vs)],
Js(zs, t) = (27?s) 1/2 [g's (t -)- zs/vs) - gs (t - zs/vs)],
справедливы в общем случае. При этом индекс s может иметь составной
характер (скажем, быть парой а, п). В (1) hs - термодинамические силы,
сопряженные с внутренними термодинамическими параметрами Bs = j J3 (t)
dt.
Предполагаем, что волновые системы подходят к рассеивающему телу в точках
zs =0. Полагая в (1) г, равными нулю, будем иметь
hs(t) = (Rj2)'/2W(t) + gUt)], Js(t) = (2Rs)-l/4gs(t)~gys(t)l
Коротко эти формулы записываются так:
h=2^l2SVHg2+gl), Jx=2ru%2{gl-gl), , (34.3)
где индекс 1 обозначает (sx, tt) и т. п.; S12 = ^s'/26SlSa6 (*12).
406
Нужно иметь в виду, однако, что формулы (3) справедливы только во
временном представлении и не являются инвариантными относительно
преобразований (16.9). Дело в том, что, как указывалось в п. 16.2, силы
h1 являются контравариантными векторами, если Вг и J1 считать
ковариантными. Чтобы сделать формулы (3) инвариантными, в них следует
вставить метрический тензор g12, входящий в (16.17). В данной главе будем
обозначать его через /12, что соответствует (33.28). Кроме /12 имеется
еще контравариантный метрический тензор У12 = /72 (в спектральном
представлении У12 = /12). Считая gf, g\ ковариантными и записывая
контравариантные индексы вверху, вместо (3) будем иметь
A1 = 2-,/V12(S-1)i(gS + $). Ji =2-1/2S?(g2-?2). (34.4)
Если никаких других представлений, кроме временного и спектрального, не
рассматривается, то контравариантные индексы можно писать внизу и первую
формулу (4) брать в виде
А, = 2-1/2/12S2t (g3n + gl) ее 2~]/2JlSr' (gi + gf). (34.5)
В дальнейшем можно поступать двояко. Во-первых, можно использовать
формулы (4), (5), во-вторых, можно использовать более простые формулы (3)
временного представления, а затем после окончания выкладок перейти к
общему представлению в результирующих формулах. Выберем последний
вариант.
Силы, стоящие в (2) или (3), приложены к рассеивающему телу, а потоки У5
(t) = Bs (t) - это реальные потоки, имеющиеся на поверхности тела,
которые соответствуют изменению внутренних параметров Bs этого тела.
Функции hs (t) и Js (t) связаны между собой универсальными равенствами
(16.8) или (20.5). В последнем из них Zb 2...m - импедансы,
характеризующие рассеивающее тело. Подставляя (3) в (20.5), находим
5Г' (gr -fgr)=Z,5, (gf-g?) +
+ 2-3/2Zi, 23S2S3 № ~ S2) (ga - ga) + • • • (34.6)
Если ограничиться линейным приближением, следует отбросить члены с Z1>23
и т. п. Разрешая линейное равенство относительно g\, будем иметь
gl = (SiZjS, + /,)"' (S,Z,S, - I,)gl, (34.7)
где /j - единичная (тождественная) матрица.
Сравнивая (7) с (33.27), находим матрицу Ult2, точнее, выражаем ее через
Zll2. Соответствующее равенство в матричной форме записи имеет вид
U = (SZS + I)'1 (SZS - /) или U = / - 2 (SZS + /Г1. (34.8)
Произведем в полученном выражении операцию временного сопряжения.
Поскольку матрица S имеет вид R~s1/26Sl, sfi (t12), где Rs -
положительные числа, операция временного сопряжения ее не ме-
407
няет: SB = S (кроме того, она симметрична: 5Т = S). Учитывая это, из (8)
будем иметь
Ов = / - 2 (SZBS + 7)-1. (34.9)
Но импеданс Z1)2 обладает свойством ZB = ZT, эквивалентным свойству
(20.14). Следовательно, из (9) получаем
U* = 1-2 (SZTS + /)-> = U\ т. е.
Uu* = U2A. (34.10)
Переходя к произвольному представлению, это соотношение, разумеется,
следует несколько изменить. В самом деле, из ковариантной записи
^=^,V2+1/2^,23fen+ "¦
формулы (33.27) видно, что у матрицы линейного рассеяния один индекс
ковариантный, а другой контравариантный. Поскольку операция временного
сопряжения не меняет ковариантный индекс на контравариантный и наоборот,
равенство (Uffi = U:2] невозможно. Соотношение (10) следует поменять на
соотношение взаимности:
J2i(U{*)B = JnU23 или Uh=UU2 (34.11)
при t/li2 = U[]J22. Если все индексы, как в (5), писать внизу, то
соотношение (10) следует прокорректировать, поменяв его на равенство
Uft2J2 = U2ilJ1. Такое равенство мы получим, если повторим вывод, исходя
из (4), (5).
2. Линейное ФДС. Введем в рассмотрение случайные силы (0>s{t).
Случайные потоки А = Вг определяются равенством
А == У1,2 (Л2 ~Ь ^г) А V2^" 1,2з (Л2 ф- S'2) (h-з "Ь &а) ф- ¦ • ¦>
(34.12)
которое эквивалентно (20.16) в приближении (20.19), (20.32). Разрешая
(12) относительно Л ф- имеем
А + "А = ZlJl ; V2А, 23/2Л + • • •, (34.13)
причем в линейном приближении
hi ф- = ZiA- (34.14)
