Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
wт (у I у") = б (у - у") п^ш т = О
полностью определяет вероятности перехода w% {у \ у"). Уравнение же (16),
записанное для стационарного распределения даст, принимает вид
полностью определяют стационарное единовременное распределение шст (у).
Итак, мы видим, что оператор кинетического уравнения, т. е. функция Ф (и,
у), полностью определяет всю статистику стационарного марковского
процесса.
§ 4. Безгранично-делимые законы распределения и марковские процессы
1. Безгранично-делимые распределения. Распределение w (I) случайной
величины ? называется безгранично-делимым, если эту величину можно
представить как сумму r]i + т)а + ... + ч]п сколь угодно большого числа п
одинаково распределенных случайных величин г)г. Обозначим через wn (ц)
распределение случайной величины, являющейся одним из п слагаемых. Введем
соответствующие характеристические функции
dwr (у | у')/дх = Ndt УФ (- д/ду, у) wx (у | у").
Nd, УФ (- д/ду, у) даст (у) = О
в силу постоянства wcx(y).
Оно, а также условие нормировки
(3.22)
0(ш) = J eiuZw(l)d%
(4.1)
(4.2)
2*
3S
Как известно, характеристическая функция суммы независимых случайных
величин является произведением характеристических функций слагаемых. В
данном случае, поскольку слагаемые одинаково распределены и имеют
одинаковую характеристическую функцию, характеристическая функция суммы
равна степени характеристической функции слагаемых:
Вследствие (3) условие безграничной делимости закона распределения w (?)
сводится к тому, что для него выражение [(c) (iu)V/n должно являться
характеристической функцией некоторой случайной величины. Это значит, что
функция
получаемая обращением по Фурье из (2), должна обладать свойствами
плотности распределения вероятностей. Но какие свойства имеет плотность
распределения? Неотрицательность и нормирован-ность. Свойство
нормированности вытекает из нормированности распределения w (?) и из
обусловленного этим равенства (c) (0) = 1. В самом деле, из (4) имеем
J wn (ц) dr\ = [0 (О)]1/" = 1.
Остается свойство неотрицательности. Итш, распределение является
безгранично-делимым, если соответствующая ему характеристическая функция
(c) (iu) при любом п иц удовлетворяет неравенству
J е-'ит1 [@ (ш)]1/'* dr| :з- 0.
Для безгранично-делимых распределений Колмогоровым установлена следующая
теорема. Для того чтобы распределение w (|), удовлетворяющее условию
было безгранично-делимым, необходимо и достаточно, чтобы логарифм его
характеристической функции представлялся в виде
где у - вещественная постоянная, a g (z) - функция, обладающая свойствами
0(ш) = [0п (iu)]'1.
(4.3)
(т)) = (2я)~] [ e~!'uTi [(c) (ш)]1/" du,
(4.4)
J wn (n)dii = J du |^(2я)-1 J dr\ c-iurij [0 (iu)]l/n = [ 6 (u) [0
(iu)]l/ndu,
т. e.
(4.5)
00
In 0 (iu) = iyu -f
(4.6)
-oo
00
(4.7)
36
При этом функция g (г) может иметь дельтообразные особенности.
Доказательство этой теоремы для одномерного случая приведено, например, в
учебнике [12].
Сказанное выше для одной случайной величины можно обобщить на случай
нескольких случайных величин ? = (?ь ..., ?г). Разница в том, что в
случае многокомпонентного, векторного характера ? такой же характер будут
иметь Л и и, а также переменная интегрирования г -- (гъ .... zT). При
этом в (6) под dz следует понимать
cfei, ..., dzr, под иг и г2 следует понимать ?uaza п Jj г'а соответ-
а а
ственно. Равенство (5) при этом, конечно, следует поменять на следующее:
2 j laW(l)dlCoo.
а
Мы не будем давать строгого доказательства справедливости разложения (6)
в многомерном случае. Однако некоторые соображения по этому поводу
приведены в приложении 2.
2. Стационарный процесс с независимыми приращениями. Рассмотрим
стационарный процесс у (t) = (у1 (t), ..., уг (/)). Он является процессом
с независимыми приращениями, если при любых временах 1Ъ t2, ..., tn,
удовлетворяющих неравенству tl < t2 < ...
приращения у (t2) - у (/,), у (t3) - y(t2), ..., у (tn) -
- У (tn_i) являются взаимно статистически независимыми.
Легко понять, что в случае стационарного процесса с независимыми
приращениями распределение w (у (t2) - у (i2)) при t2 > tx является
безгранично-делимым. В самом деле, приращение у (t2) -•
- у (/i) можно представить в виде
у (12) - у (tx) -= [у (t1 + А) - у (tj ] + [у (tx -I- 2А) -
- У (U А) 1 -j- ... + \у (t2) - у (t2 - А) ], (4.8)
где А = (/2 - tx)in, п - любое.
При этом все слагаемые в правой части (8) независимы в силу того, что у
(t) есть процесс с независимыми приращениями, и равно-распределены в силу
его стационарности. Поэтому характеристическую функцию
0Т (iu) = (ехр \iu [у (( -Г х) - у (/)]})
можно представить в виде (6)
In 0т (iu) = iyxu + } (eiuz - 1 - iuz) z~2gx (г) dz, (4.9)
где т > 0; g% (z) удовлетворяет условиям (7).
Из условия независимости приращений находим, что характеристическая
функция 0т (iu) удовлетворяет уравнению
(c)t1+t2 (iu) = (c)т, (Ш) (c)т3 (iu). (4.10)
Из этого уравнения вытекает, что логарифм 1п(c)т (iu) пропорциона-
лен т:
