Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
каждая из косинусоид принимает максимальные значения. Сплошные прямые
линии соответствуют их минималь-
367
ным (отрицательным) значениям. В точках пересечения пунктирных линий
функция В1 (г) при А > 0 имеет максимальное значение, равное ЗА. В этих
точках и вблизи них жидкость в процессе конвекции идет вверх. На
некотором расстоянии от точек максимума в любую сторону находятся
участки, где жидкость идет вниз (отрицательные Вг). На рис. 30.1 показано
также, как плоскость г = (х, у) разбивается на правильные шестиугольники,
в каждом из которых жидкость участвует в конвекции, не выходя из него. На
периферии
шестиугольника жидкость движется вниз, а в центре вверх. Движение будет
обратным, если в (75) перед А поставить знак минус. Конвекция описанного
типа часто наблюдалась на опыте.
Возможны, разумеется, и другие решения уравнения (72). Чтобы ответить на
вопрос, какое из решений является более устойчивым, нужно выйти за
рамшГкритической области и рассматривать сильно нелинейные уравнения,
описывающие развитую конвекцию.
займемся теперь минимизацией оставшегося выражения 4'[Bi(r)] = -|-(/?0-
/?)jB?dr-|-Jd(rb ..., r4)Bi(r,) ...
. . . В1 (r4) dr4 . . . dr4,
подставив сначала в него равенство ВДг) Ац>(г) типа (73)-(75). Эта
подстановка дает
? [А ] = -GS (R - Яс) А2 + DSA\ (30.76)
где
G = 'is jф2 dr>
S
D = J . . . J d(ru . .., r4) ф (ri) . . . ф (r4) drj. . . . dr4,
s s
S - полная площадь слоя жидкости. Минимизация функции (76) дает А = V2
(2G/D)1/2 {R-Яе)'/2- Кроме того, по формуле типа (29.2) можно получить
распределение для амплитуды
w (А) = const-exp {и-1 [GS (R - Rc) А2-DS/14]|.
Оно похоже на распределение амплитуды в случае генератора ван дер Поля.
Амплитуду А можно также считать медленно меняющейся как функция от г =
(х, у) (меняющейся гораздо медленнее, чем функция d и косинусоидальные
функции). Тогда подстановка Вх = Лф и
Рис. 30.
368
(V2 + kl) = Ф V2/4 + 2УЛ-Уф в (71) приведет к выражению
слабо зависят от S0, если только площадь S0 не слишком мала. В (77)
обозначено
Для случая (73) имеем Для случая (74) и (75) нетрудно
получить Hij - hk'ibij и Hij = 3/2hkl8ij соответственно. Выражение (77)
можно использовать для вычисления корреляторов флуктуаций амплитуды.
В другом варианте медленно флуктуирующими можно считать также ф0 или фф,
ф2 или г0 и т. п. Возможен также и другой подход: можно представить Вх
(г) в виде Лф + 8Вг и рассчитывать статистические характеристики
флуктуаций отклонения 8В1. В любом случае использование квазиэнергии для
расчета флуктуаций является удобным и эффективным.
Отметим, что в описанном выше получении следствий из ста" ционарного
распределения w [Вх (г) ]-- const • ехр [-(г)]/и], где Ч*1 \Вг (г)]
определяется формулой (71), допущен ряд упрощений, оправданных при весьма
малой величине к. Дело в том, что имеется малая критическая область
значений | R - Rc[ порядка х2/3, где (76) и другие формулы, полученные
выше из (71), являются несправедливыми. Теория флуктуаций в этой области
значительно сложнее. Однако эта область мала в силу малости х^и мы ее не
рассматриваем.
В заключение данного пункта заметим, что квазиэнергия, характеризующая
возникновение лазерного излучения, как показано в [58], в критической
области имеет вид, аналогичный (71).
§ 31. Особенности флуктуаций параметров
вблизи неравновесных кинетических фазовых переходов
в однокомпонентном случае
1. Фазовый переход второго рода в однокомпонентном случае.
Когда вектор внутренних параметров В имеет лишь одну компоненту, решение
уравнений (30.11), (30.13), (30.14) тривиально. Получаем
ь I J -*
Здесь использовано, что величины
0=2^- j ф 3dr, D = -щ- j d(rlt. . .,Г4)Ф(Г!) . . . ф(г4)*-1 ...dfi
Нij = j У;ф V/ф dr .
36Э
= фп^-^ДШ^ди+^Ч^п.п +^плЪ/^2) +
+ ЪЪкш + Ч\к\п. 1 + ЧЭДш].
Вблизи фазового перехода Ч^ мало; опуская содержащие Ч^ члены, при этом
можно пользоваться более простыми равенствами
W2 = -2kul/k°u, Ч'з = -2ki, n/??i,
Чг4 = -2ku \U/k°n - З&п, i?3M?i- (31' }
В данном случае фазовый переход будет являться переходом второго
рода, если Ч^ = 0 (т. е. kltll (0С) = 0) и Ч^ > 0. Тогда
распре-
деление вероятностей (30.37) примет вид
w (В) = const • ехр -{- ^ [V, (В - В0)2 + ±Ч^ (В - В0)4] ], (31.2)
где Ч;4 = Ч^. Производя замену переменной
у = (V12x)>/4 (S _ so), (31 3)
приведем это распределение к виду
w (у) = const-exp (-ау2 - у*!2), (31.4)
где а 3|/2и_!/2Чг41/2Чг2. Область значений параметра 0, где 2а-1, т. е.
(12)1/2 Чг2 ~ nmW\/3, (31.5)
назовем критической областью. В ней флуктуации параметров аномально
велики, т. е. имеют тот же порядок величины, что и в самой критической
точке 0 = 0С. В этой точке а = 0 и распределение (4) имеет вид
w (у) = const-exp (-г/4/2).
Используя его, находим
ОО I оо
(У2) = } ехр (-г/72) У1 dy I J ехр (-г/72)dy =
-оо / -оо
= 21/2Г(3/4)/Г(1/4) = 0,478. . ., (31.6)
и поэтому в силу (3)
(В, В) = (12х/?4)1''2(у2) = 0,478 (12х/Чг4)1/2 - и1-'2. (31.7)
Вне критической области имеем
