Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 136

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 178 >> Следующая

экстремальности функции / (Rq2) в точке Rk'i члены с f в стоящем справа
выражении исчезают. Пренебрегая также ошибкой порядка (q2 - ki)-(R - Rc),
заменим (66) выражением
Rki \ \'ii t (q - kef 4- R, RI На том же основании и при погрешности того
же порядка величины в членах выражения, стоящего в (64) в фигурных
скобках, можно поменять q2 на ki. В результате из (64) и (65) для
критической области при указанной погрешности получим
(| В J2) = х [g (Rc _ R) -f h (<i2 - A1;) | (ДА, ДА2)-\ (30.67)
где g 2v% (v + x) R%kl [Sn/r - 2Subc -f- S22c2 J'J-^2, h = 1/if"Rg -
постоянные. Здесь использовано также (63) и при записи
выражения, определяющего g, учтено, что ab - cd = 0 при
ф ki и R = Rc. Постоянные g, h положительны в силу положительной
определенности матрицы (невырожденность этой матрицы предполагается).
При гауссовых шумах |2 случайные функции Вг, В2, определяемые линейными
уравнениями (61), их действительные и мнимые части будут гауссовы.
Учитывая одинаковую дисперсию действительной и мнимой частей Bv = ReS1;
Blt = Im Blt а также их статистическую независимость, имеем
(в\г) - (Ви) =1/2(|Si|2). Сле-
довательно, их совместное распределение вероятностей имеет вид
w(Blr, Вп) = const -ехр
В1 + В2и <1М2>
= const-ехр
Iflil
(I Bi I2)
365
или, если сюда подставить (67),
w{Blr, Ви) =
= const-exp (-к-1 [g (?)с - /?) -f h(q2 - ^)2] | В{ f Aki Ak2). (30.68)
средним от B1(k), по одному типичному элементарному квадратику в
плоскости k. Перейдем к вычислению совместного распределения средних по
различным квадратикам.
Поскольку В\ (-k) = В* (k), независимо задаваемыми величинами являются
лишь значения By (k) в полуплоскости ks > 0, где 5 - произвольный вектор.
Следовательно, нужно рассматривать совместное распределение w \Bv(qa$),
Bii (qa$), qa$s >0] средних по квадратикам, лежащим лишь в одной
полуплоскости. Вычисление корреляторов показывает, что при любом
конкретном виде коррелятора (Ву (г) Вх (г')) случайные величины Blr (k),
Byi (k) независимы от величин ByT(k'), Byi(k'), если k ф k', kk' > 0.
Поэтому средние ,по различным квадратикам, лежащим в одной полуплоскости,
статистически независимы и совместное распределение получается
перемножением распределений типа (68):
Если здесь перейти к пределу Akx ->¦ 0, Ak2 ->¦ 0, получим функциональное
распределение
w[BlT(k), Byi(k), ks> 0] =
= const • exp i - J [g(Rc - R) (- h(k2 - /г2)2] | Bi (k) f dkx dk2
где справа мы перешли к интегрированию по всей плоскости k.
Сравнивая (69) с (29.2) при векторе В'~\Ва\, совпадающим с By (k), т. е.
при а, имеющим смысл k, находим квазиэнергию для рассматриваемого случая:
У [Ви (к), Ви (к)\ = 72 J [g (Rc - R) f h (k2 - k\y\ I Bi (к) 12dk.
Если от изображения Фурье By (k) перейти к оригиналу By (г), то
квазиэнергия преобразуется к виду
Y[B, (r)j = 72 \{g(Rc-R)BU-h[(v2 + kl)Bl)2\dr. (30.70)
Таково распределение комплексной величины By (qa$), являющейся
Вц (gap)I <7aP-S>0] =
= const • exp 2^- J [g (R - Rc) *-f h (k2 - klf] \ Bx (k) |2 dk j,
(30.69)
366
Здесь г и V - двумерные. Нужно иметь в виду, что приведенные выражения
для квазиэнергии справедливы лишь в критической области, при R < Rc и в
гауссовом приближении.
4) Чтобы получить квазиэнергию, определяющую распределение
вероятностей w \В1 (г)] при R > Rc, нужно выйти за рамки гауссова
приближения. Это приведет к тому, что к выражению (70) добавится член
четвертой степени, и мы будем иметь
V [В, (г)] = Va | (Я (Дс - R) Bi + h [(V2 + А2) В,)2) dr +
+ \ d (rt,. . ., r4) Bj (ri) . . . Bt (r4) dr! . . . dr4. (30.71)
Определение функции d (r4, r2, r3, г4) более громоздко, и мы не будем
этим заниматься. Укажем лишь, что функция d мало изменяется в пределах
критической области, так что ее можно определить при каком-либо одном
значении R < Rc, а затем пользоваться формулой (71) для различных R, в
том числе для R ^ Rc.
При R > Rc возникает стабильное конвективное движение жидкости.
Соответствующая ему функция В4 (г) в силу Н-теоремы, доказанной в п.
29.4, должна обращать выражение (71) в минимум. Найдем эту функцию.
Минимизацию выражения (71) будем проводить в два этапа. Сначала
минимизируем член
\ j [(V2 + А2) ВД2 dr =2=0.
Его минимизация приводит к уравнению
(V2 -f- A2) Bi = 0. (30.72)
Решением последнего уравнения могут быть различные функции. Приведем
несколько примеров. Простым решением уравнения (72) является функция
В4 (г) = A cos (Асяг + ф0), (30.73)
(| п |2 = 1, А, ф0 - постоянные), которой соответствуют системы вихрей,
параллельных друг другу.
Другим примером решения является функция
В4 (г) = A [cos (Ас"г -f- <pi) -j- cos (Acmr + ф2)], (30.74)
где n, m - взаимно перпендикулярные единичные векторы. Ей соответствует
система квадратных ячеек, в которых идет конвекция.
В качестве третьего примера возьмем функцию
Bi (г) = A [cos Асйг • (г - г0)+cos Ас"2 • (г-r0) + cos Ас"3 • (г - г0)],
(30.75)
где п1, "2, "з - три единичных вектора, угол между которыми равен 2/3л: |
nt rij | = V2, i?=j- На рис. 30.1 пунктиром показаны прямые, на которых
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed