Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
rot rot a =V(V-a)-V2a, в силу (51) будем иметь -V"2 rot rot v = v.
Получим уравнение
vz = рg V-2 (v2 f V2) О -j- v V4, (30.54)
если взять г-компоненту вектора V.
362
Коснемся граничных условий, которым должно удовлетворять решение
приведенных выше уравнений. На границах г = 0, г -= I температуру Т (г)
естественно считать стабильной, а 2-компоненту скорости - нулевой. Тогда
0=0, vz = 0 при г = 0 и при г = /. (30.55)
Далее, будем считать на границах тангенциальные напряжения Pxz, Pyz> гДе
Pi} = "Л (Siyi + равными нулю. Отсюда
вытекает, что должны равняться нулю Vzvx и Vzvy, а значит, и Vz (Vxvx
f V"vu). Используя (51), отсюда получаем условие
\7?-г = 0 (30.56)
при г = 0 и г /. Граничные условия (55), (56) будут удовлетворены, если
функции vz, О искать в форме
vz - - By (х, у, t) sin (лmil),
О = В-г (х, //, /) sin (nnzil), (30.57)
где п - целое. При этом, конечно, особую роль играет значение п = 1,
соответствующее низшей гармонике.
Удобно перейти к спектральному представлению, т. е.
совер-
шить преобразования Фурье по .г н у. После этого Vl + Vy поменяются на -
k\ - к\ = -k2. В результате из (54), (53) получим уравнения
By = {igk2 [(ЛIlf -L *2]-! В2 - v [(Я/If -j- Щ By j- Х>^У (к, О,
(DU. Do)
вг = mb у - x Кл/02 + fe2] f -&2 (k, t)
(x - малый параметр, вектор k двумерный). Здесь учтены равенства (57) при
п 1 и добавлены малые флуктуации х1'2^, х1/2|2, которые предполагаются
гауссовыми, имеющими нулевое среднее значение и дельта-коррелированными
по времени. При этом By, В2 как функции от времени будут представлять
собой марковский процесс фок-кер-планковского типа.
3) В силу стационарности, однородности и дельта-коррелирован-ности (по
времени) случайных функций (k, /), ?¦> (k, t) имеем
(Ь(к, t')) = Sij (k) b(k - k') d(t - t'), (30.59)
где Stj (k) - спектральные плотности.
Произведем разбиение плоскости k на элементарные квадратики вида (qafi)y
< kx < (qafy)y -f &ky, . (qa&)2 < < (qafi)2 + &k.2 (дгф -
задаваемые разбиением точки в плоскости k). Производя усреднение по
элементарному квадратику, введем усредненные величины
Qj+A/г, +
\ J ii(k,t)dkydk2,
Ql <?2
^ 91 + ДАх Я2 + Ьк2
Bi = -\klbkt I J Bi(k, t)dkydk2
Qi Q 2
363
(Я = Я ad)- Из (59) находим
(I, (О, I/ (/')> = Su (<7аЭ) (А^ Д^)'1 б (* - О- (30.60)
Для интегральных величин справедливы уравнения
Bi = -V [(л/lf + q2] BL + $gq2 [(л/l)2 + q2Y{ B2 +
Д> = MBL - x [(л/02 + <72] + и1/212,
(30.61)
аналогичные (58). Определяемые этим уравнением переменные Bl(q), В-2 (я)
(Я= Я ad) образуют марковский процесс, и для их плотности вероятностей
можно записать уравнение Фоккера- Планка. Выражение, стоящее в правой
части первого равенства (61) перед флуктуационным членом, есть не что
иное, как коэффициент К\ (В) этого уравнения, а в правой части второго
уравнения - коэффициент Кг (В). Отсюда находим матрицу дКа (В) __
/а с\
~ U ь) '
А = -
дВа
а именно, получаем
а = V [(л//)2 -|- q2}, Ь = х [(я//)2 + Я2], (30 &2)
с = -[(л//)2 + <72Г\ d = -М.
Тем самым определена одна из матриц, входящих в уравнение (23).
Другая матрица, N ~ || Re k/j [|, связана со статистическими
свойствами случайных функций 1х, |2: (I; (/х) (t2)) ^ /е"/ (я)
б (Д>).
В силу (60) она равна
kl-(q) = Sii(q)(AklAk2y'. (30.63)
Как и А, она зависит от q -
Третья входящая в (23) матрица Я - -||ф^|| в силу (29.16) связана с
коррелятором (BiBJ) по формуле |Re(B,B/)|j = хЯ. Следовательно, решая
уравнение (23), можно найти указанный коррелятор. Техника решения
уравнения в двухкомпонентном случае несложна и будет пояснена в п. 32.1.
Применяя первую формулу (32.4), находим левый верхний элемент матрицы Я,
а следовательно, и ОВД2):
(| В\ |2) = V-jx (а -]- byx (ab - cd)~l х
X {&п [b (a j- b) - cdj - 2k°]2bc -[- k^c2}- (30.64)
Рассмотрим особо множитель (а + b)"1 (ab - cd)~1 последнего
выражения. В силу (62) имеем
(а + by1 (ab - cdy1 =
= ZVV1 (v + /Г1 [(л2 + l2q2f - RlY\-\ (30.65)
364
где R =- Pg'/M/4/(vx) - число Рэлея. Этот множитель, а значит и (|S1|2),
обращается в бесконечность при значениях
R = (и* + Rq-fi{lqf = f (/V),
что свидетельствует о потере устойчивости состояния без конвекции.
Минимизируя функцию / (Rq2) по q2, находим значение q1 = /г-, при котором
раньше всего теряется устойчивость, а также соответствующее этому
критическое,значение Rc числа Рэлея, при котором происходит неравновесный
фазовый переход:
ki = '/ол-//2, Rc = / (Rk'i) = (27/4) л4 я* 657,5.
Вследствие равенства / (Rk'i) - Rc =-0 входящее в (65)
выражение (л- -р Rq2)3 - RRq2 = Rq2 [/ (Rq2) - R ] можно
записать так:
Rq1 \f (Rq1) - f(Rk'i) -j- Rc - R], (30.66)
Будем интересоваться критической областью, т. е. областью, где отклонения
R - Rc, q2 - ki малы. Используя малость q2 - k'i, можно разложить функцию
/ (Rq2) в ряд Тейлора в точке Rk'i. Имеем
Rq1 [/ (Rq2) - / (//С) I = / k If (Rki) R (q A;)
+ Va/" (Rkl) R \q2 - k2)2] -f f (Rki) 11 (.11 - ki)2
где отброшены члены порядка (q2 - ki)3 и выше. В силу отмеченной ранее
