Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
г|'и(5 = det-11(30.29)
где Atk - алгебраические дополнения матрицы ||сг(1 (а; !-а^)|; |js/ftJ| =
5. Ничто не препятствует совершить предельный переход (28), поскольку
бесконечно нарастающие члены входят как в Aih, так и в детерминант.
4. О решении уравнений, определяющих более высокие производные.
Уравнения (13), (14) имеют такую структуру:
Уаа'| ирч У ^'pHl'aav ~i~ ^7<Н'ааР ~ ^аРч' (30.30)
г'асйГаРч<5 "Г У|ЗаН'рачб Т ДУ-^оарб У Уба'ГоаРч ~ 2а$у6> (30.31 )
где VrLO - ч^ча, гар... - некоторые выражения, уже пол-
ностью известные к моменту решения уравнения, в которое они входят.
Заметим, что, используя (11), матрице yaa можно придать вид
Указанные уравнения образуют систему линейных уравнений, и их можно
решать как таковые обычным способом. Кроме того, для решения и
исследования уравнений (30), (31) можно применять метод приведения
матрицы va(J к диагональному виду.
Предполагая, что матрица vua приводима к диагональному виду некоторым
преобразованием г..а, имеем
Гча^СУар Уч^чр' (30.33)
где у7 - собственные значения матрицы vaa. Умножая (30) на г}м, Сч и
суммируя по а, р, у, при учете (33) будем иметь
(рк + Ур + Wv) трям-v = z'xuv, (30.34)
ГД6 = Гко/р|УЧзДаРч> Zkiiv - Гка/
Решая уравнение (34), находим
-- Zk\xxl(pk ~\~ ~Ь Vv)> 'Р'-фч = гакг$\1Гу\гк11\1 (vk 3" Ур ~Ь
b'v).
Данным решением можно пользоваться, когда в критической точке Vk + Ур +
vv Ф 0 при любых X, р, v = 1, ...,/- или когда отношение z'k\i\!(Vk + Уц
+ vv) остается конечным при 0 0С.
Аналогичным способом можно найти решение уравнения (31):
Здесь K.pva - rkar^rvvr06Zafiy6- Чтобы выражение (35) имело смысл в
критической области, предполагаем, что или Vk + уй + vv + + va Ф 0 при 0
= 0С и при любых X, р, v, о, или отношение
358
Н = S'11| clh/(a, + ак) I (S')-1.
(30.32)
Фс/.Рчб - rakr?,y.r\\rtazk\ival(Vk + Ур + Vv -|- V").
(30.35)
zxiivaKvx + -f vx + va) при различных Я, р, v, о не стремится к
бесконечности в процессе предельного перехода 0 -* 0е.
Рассмотрим тот частный случай, когда второе равенство (21) справедливо
при любых векторах а. Это означает, что фа(3 (0С) = 0. В этом случае
формула (32) для критической точки дает ||оао|| = = -I ka, а 1 = Ат.
Следовательно,
Va ((c)с) = а/i ((c)с); vx -f -j- vs = ах + -f av при 0 = 0С;
vx -i- i- -I- Va = ax i- a(l -)¦ av -j- при 0 = 0C.
В критической точке для некоторых собственных значений од должно быть
справедливо равенство Re аг -0. Следовательно, при некоторых i и /г имеем
a, -f - 0. Отсюда вытекает, что
VX + Уц -Г Wv -Г va = a>. -ф a(l -j- av -f aa = 0
при (c) = (c)с для некоторых значений %, р, v, о. Это, однако, еще не
означает обращения в бесконечность отношения zx^vai{vx -f-+ Ун + vv -ф
Va) при 0 = 0С, поскольку матрица zXilVo также может обращаться в нуль
при 0 = 0С. Во многих случаях матрица ФаРуб, определяемая равенством
(14), конечна в критической точке при одновременном обращении в нуль
величин vx -ф уй -ф vv -f- va и zXilva. Пример этому читатель найдет в п.
32.6, где сумма а-тЬ, обращающаяся в нуль в указанном выше случае,
выпадает, поскольку ее содержит и числитель и знаменатель в (32.13).
По-видимому, возможны случаи и бесконечных значений матрицы ФаРуб в
критической точке, если ее определять по формуле (14). Последнее
означает, что следует подсчитывать фам (и) а не [фаруб Jx=o, и
рассматривать квазиэнергию (В, к), являющуюся также функцией от к
(зависимость ? от х в данном случае является неаналитичной). Для
определения 4х (В, х), а значит, и фар,,л (х) тогда следует использовать
точное уравнение
вместо приближенного уравнения (29.9). Когда же указанных бесконечностей
нет, то целесообразно применять описанные выше методы, более простые, чем
решение уравнения (36). После того, как производные фар, фару, Фарул
найдены, можно использовать приближенную плотность распределения
w (В) = const • ехр [-х"10/гФар АВа А-ф
АВа = Ва - В°а, и вычислять с ее помощью корреляторы (Ва" ...,5ат) вблизи
критической точки. Некоторые полученные таким путем результаты будут
приведены в двух следующих параграфах.
5. О точности уравнений (29.60), (29.61). В начале п. 1 было указано,
что уравнения (29.60), (29.61) становятся неприменимыми в критической
точке, и поэтому в критический области нужно поль-
(30.36)
~Ф 1/бфару АВа АВр АВу -J- х/г4фарувАВа АВр АВу АВд)], (30.37)
359
зовагься уравнениями для производных от функции Фг (В). Поясним это
утверждение.
Уравнения (11), (13), как видно из их вывода, эквивалентны уравнениям
(2), (3), если сраР, и фа|3) фаРу связаны формула-
ми (10). Формулы же (10) имеют место, когда сраР, сраРу являются
производными (в нулевой точке) от функции (5). Обозначим функцию (5)
(преобразование Лежандра от 'F (В)) через Ф0 (х), чтобы отличить ее от
точной функции (29.10). Следовательно, условием эквивалентности уравнений
(2), (3), с одной стороны, и уравнений (11) и (13) - с другой, являются
равенства
Д2Ф0 (.v) 3:!Ф0 (х) а
^V= дхад-х&дх- прн х -0.
Далее, условием эквивалентности равенств (29.60), (29.61) и
