Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
высота "водораздела", отсчитываемая с другой его стороны, не должна
стремиться к нулю). В противном случае имеет место фазовый переход
второго рода. Нетрудно понять, что при выполнении условий:
все г|'"р7 = 0 и одновременно ^а$убааа$ауаб > 0
при любых ненулевых векторах а, где = Ф"Рт ((r)с)> =
= ?aPve ((r)с)> имеем фазовый переход второго рода. Если же неко-
12*
355
торые T|)a0V Ф 0 или граруйакарауай < 0 хотя бы при одном ненулевом
векторе а, то имеем фазовый переход первого рода. Если все ф?ру = 0 и все
ipapyfi = 0, то тип фазового перехода определяется более высокими
производными.
3. О решении уравнений, определяющих фар, фар. Полученные ранее
уравнения (2), (И), (13), (14) в случае мультистабильности справедливы
отдельно для каждой стабильной точки В°. При этом Ч>ос1...а. есть
производные (4)-в точке В = В°, a |фар|| = -ЦФарЦ-1-Нас будут
интересовать те стабильные точки, которые соответствуют фазовому
переходу, т. е. в которых при критических значениях параметров
справедливы равенства (21). Рассмотрим сначала уравнения (2), (И)
линейно-гауссова приближения. Мы называем его так, потому что fca>p
определяют линейное уравнение
Лх = *а.р(Лр-Я°р) (30.22)
(см. (29.20) и (29.62)) и потому что в приближении lF (В) = = 1/2граР (Ва
- Ва) (Вр - Вр) распределение (29.2) становится гауссовым. Вместо (11)
удобно рассматривать уравнение (2), поскольку оно линейно. Обозначая
-lfea,pfl = А, |Кв1 = ЛГ, - ]| фар 1 = Я, уравнение (2) можно записать в
матричной форме
АН + НАТ = N. (30.23)
Заметим, что если совершить преобразование
А' = ЛГ1/2ЛЯ1/2, Н = ЛГ1/2ЯЯ_1/2, то (23) приведется к виду
А'Н' +Я' (А'У = /, (30.24)
где / - тождественная матрица. Такое преобразование можно сделать при
невырожденной матрице N, причем в силу ее положительной определенности
матрицу М1/2 можно выбрать действительной.
Обозначим через at собственные значения матрицы А и, следовательно,
матрицы А', а через к, - собственные значения матрицы Я. Если Ц -
собственные значения то по закону инерции среди А,,- и к'с имеется
одинаковое число положительных чисел, нулей и отрицательных чисел (эти
числа действительны в силу симметричности матриц Н и Я').
По теореме Таусски [68] (см. также [36]) при выполнении условия
a(- f а* Ф 0 для любых г, k = 1,. . ., г (30.25)
уравнение (24) (а следовательно, и (23)) имеет единственное решение,
причем среди А,- и Re а,-, а значит, также среди А; и Re ait имеется
одинаковое число положительных чисел. В силу действительности матрицы А
число а% является собственным значением этой матрицы, если таковым
является ak. Поэтому условие теоремы (25) можно поменять на такое
условие:
аг + аь=И=0 для любых i, k - \ (30.26)
356
Из указанной теоремы вытекает следующее. Если при движении в соответствии
с (22) точка В0 является устойчивой, так что все Re аг > 0, и условие
(25) выполнено, то матрицы Н и || фа|з || = Я-1 являются положительно
определенными. Следовательно, выполнено условие (17). Мы видим, что
данное ранее определение стабильности не противоречит прямому определению
устойчивости движения, описываемого уравнением (22).
Поясним необходимость условия (25). Предположим, что матрица А приводима
к диагональному виду унитарным преобразованием U:
U+AU - ЦаД,; ||
(при этом U+A+U = ||а*6(-*||). Тогда после преобразования к новому
представлению уравнение (23) примет вид
аЛ'/t г hika.t = nik (\\hik\\ = U+HU и т. п.). Решая это уравнение, имеем
hik = ";*/("< + "/*)• (30.27)
Если условие (25) не выполнено, то некоторые элементы матрицы
(27) для общей матрицы tiih обращаются в бесконечность, что говорит об
отсутствии решения уравнения (23). Если А не приводима к диагональному
виду унитарным преобразованием, то она заведомо приводима таковым к
верхней треугольной форме. После этого уравнение для элементов матрицы
hik будет иметь вид Dx = е, где х - неизвестный вектор, состоящий из
/г;й, е - известный вектор, состоящий из nih, D - верхняя треугольная
матрица Von ределителем,
Г
равным П (а,
+ "?)• Отсюда необходимость условия (25) очевидна.
i,k-1
В критической точке 0 = 0С условие (25) (или (26)) не выполняется, так
как при этом некоторые собственные значения становятся равными нулю или
чисто мнимыми. При этом не существует решения уравнения (23), однако
решение уравнения (11) должно существовать. В качестве такового следует
взять предел
1Фа.р(вс)1= lim Я-1 (0). (30.28)
в + вс
Чтобы рассмотреть этот предел несколько подробнее, предположим, что
матрица А приводима к диагональному виду, т. е. при некоторой (не
обязательно унитарной) матрице S имеем
SAS-1 = Лд = ЦосД-ь! и, кроме того,
(5Т)^ЛТ5Т = ЛТД.
Подействовав на (23) слева оператором S, а справа - оператором ST, при
учете последних равенств получим
ЛД5Я5Т + SHSIAa = SNST.
357
Решение этого уравнения имеет вид &ik ~f" ^k)y
где f/'iftl = SHST, || C;/j I = SNST. Оно существует в силу (26) вне
критической точки. Следовательно,
Отсюда находим обратную матрицу
