Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
возможных значений 0, должны выполняться равенства
dW(B,Q)/dB = 0 при B = B"(0), t = 1,. . ., s. (30.16)
Обычно условие минимальности совпадает с условием положительной
определенности матрицы вторых производных
д2? (В, 0)Д?Ва <ЗВр = пол. оп. (30.17)
при В = В° (0). Если имеется несколько стабильных точек, то говорят, что
имеется мультистабильность.
Когда имеется одна точка минимума, согласно результатам приложения 1
функция ? (В, 0) асимптотически близка к функции
(29.22). При этом в силу Н-теоремы, рассмотренной в п. 29.4, она
12 р. л. Стратонович
353
не может увеличиваться, более того, она уменьшается в нетривиальных
случаях. Следовательно, отклонения В (/)-Вп (0) от точки минимума
уменьшаются с течением времени. Поэтому функция ? (В, 0) играет роль
функции Ляпунова, и точка ее минимума является устойчивой. Этим
объясняется термин "стабильная точка".
В случае нескольких точек минимума описанные рассуждения неприменимы,
поскольку lF (В) в этом случае сильно отличается от
(29.22) даже в случае малых х. Чтобы распространить и на этот случай
предыдущие рассуждени*я, следует, проведя "водоразделы" между точками
минимума, разбить пространство значений В на области Е1} ..., Es, в
каждой из которых будет только одна точка минимума. Далее, следует ввести
условные функции
Фг (х) = -xln | ехр [{Вх - ? (fi))/x] dB, i = l,...,s. (30.18)
Ei
Легко видеть, что безусловная функция (29.10) связана с условными таким
равенством:
ехр [-Ф(х)/х] = ехр [-Ф; (х)/х].
i
Введем условное стационарное распределение wCT(B\Ei), соответствующее
условию попадания случайной точки В в область Et. Оно определяется
формулой
ш01 {В I Ei) = ехр |[Фг (0) - W (5)]/х} при???г, (30.19)
аналогичной (29.11). По аналогии с (29.22) можно ввести условные функции
Фг(В) = ФДх(Б)) 1 Вх(В) (30.20)
(В (х) = -<ЭФг (х)/дх). Процесс релаксации нестационарного распределения
w (В) к стационарному характеризуется двумя постоянными времени. Первая
постоянная времени тг характеризует время, в течение которого
нестационарное условное распределение w (В \ Et) переходит в стационарное
условное распределение (19). Этот переход происходит гораздо быстрее, чем
второй процесс, характеризующийся временем т2, - процесс стремления
нестационарных вероятностей
Pi= | w (В) dB
Ei
попадания точки В в область Et к соответствующим стационарным
вероятностям
{Pi)С Г = } (r)ст (В) dB = ехр [(Ф (0) - Фг (0))/х]
Ei
(использованы (29.11) и (18)). Различная длительность указанных процессов
характеризуется неравенством <§( т2, которое выполняется тем увереннее,
чем меньше х, так как при малых х перескоки между различными минимумами
весьма редки.
354
Быстрый процесс превращения распределений w (B\Et) в (19) совершается
так, как если бы переходов через "водоразделы", т. е. границы областей Еи
не было. Почти ничего не изменится, если на границах поставить
непроницаемые перегородки. При наличии этих перегородок к условной
функции (20) можно применить Н-теорему из п. 29.4, согласно которой d4f;
(A)/dt < 0. Далее, для условной функции (18) можно провести выкладки
приложения 1 и, следовательно, доказать близость (Л) к Ч; (Л) при Л ? Е-
ъ. Отсюда вытекает, что ? (Л), Л ? Et, является функцией Ляпунова для
процессов, протекающих в Et и имеющих масштаб времени тъ так что точка В(r)
минимума функции Ч1- (Л), Л ? Eiy является стабильной.
Будем теперь менять параметр (параметры) 0. При этом стабильные точки
могут сдвигаться. Однако возможны и другие, а именно, аномальные
изменения стабильных точек: некоторые стабильные точки могут пропадать,
появляться, сдваиваться, изолированные точки могут превращаться в
неизолированные и т. п. Такие аномальные изменения мы называем
неравновесными кинетическими фазовыми переходами; значения параметров,
при которых происходит фазовый переход, называются критическими и
обозначаются 0О. При фазовом переходе должно нарушиться условие
положительной определенности (17), т. е. хотя бы для одной точки В" и
хотя бы при одном векторе а должны одновременно выполняться равенства
|L(B°(0o), ео) = 0, ^?щ-(В°(вс). 0с)аааэ = О, (30.21)
в то время как в сколь угодно малой окрестности |(c) - 0С | < е
критического значения 0С выполняются формулы (16), (17). Второе равенство
(21) означает, что хотя бы одно собственное значение матрицы вторых
производных становится равным нулю.
Конечно, приведенное определение (21) фазового перехода не является самым
общим, поскольку наличие, появление или исчезновение минимума при равной
нулю матрице вторых производных может определяться поведением более
высоких производных. Приведенное определение соответствует простому
фазовому переходу. В понятие простого перехода мы также включим
требование, чтобы диффузионная матрица ka$ была невырожденной.
Назовем фазовый переход переходом первого рода, если определяемая
функцией Ч1- (В, 0) минимальная относительная высота "водораздела",
отсчитываемая от точки минимума, стремится к нулю при (c) -> (c)с (при этом
