Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 13

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 178 >> Следующая

29
10. Формулы квантовой равновесной статистической термодинамики.
Предыдущее рассмотрение относилось к неквантовому случаю. В, квантовом
случае вместо функции Гамильтона и распределения в фазовом пространстве
следует брать оператор Гамильтона Ж и матрицу плотности р, которые
являются эрмитовыми, причем р является неотрицательно определенной.
Вместо формул (1),
(2) будем иметь такие формулы:
U ~Тг (Жр), (2.73)
S = - /г Tr (р In р). (2.74)
Здесь Тг А означает след, т. е. сумму диагональных элементов матрицы А.
Нужно отметить, что в отличие от (2) формула (74) уже не оставляет
никакой неопределенности в выборе аддитивной константы.
Формула (3) остается без изменений. Равновесные распределения
(5), (6) в квантовом варианте принимают вид
р = Q ехр (- Ж/kT) (СГ1 = Тг ехр (-<3§//гГ)); (2.75)
р=С28(Ж-Е) (С^ = Тгё (Ж-Е)). (2.76)
Используя (3), (73), (74), (75), тем же способом можно получить формулу
F = -?Пп[Тгехр(- Ж/kT)], (2.77)
аналогичную (7).
Случайные внутренние параметры определяются как операторы Вь ..., Вт.
Теория, изложенная в п. 2, переносится на квантовый случай путем замены
интеграла по фазовому пространству на след. В п. 3 не требуется никаких
изменений.
Формулы (23), (24) из п. 4, а также соответствующая формула (28) из п. 5
в квантовом случае несправедливы даже для симметризацион-ного
упорядочения, определяемого характеристической функцией типа (1.15).
Причиной этого является то обстоятельство, что произведение операторов
ехр (- р Жъ -j- $аВ) ехр (vB)
в общем случае не равняется экспоненте
ехр (- р Ж0 + раВ + vB),
поскольку операторы Ж0, Blt Вг в общем случае некоммутативны.
Условная энтропия, рассматриваемая для неквантового случая в п. 6, в
квантовом случае не может быть точно и однозначно определена, потому что
в квантовой теории отсутствует общее и однозначное понятие условных
вероятностей и условной матрицы плотности.
30
В связи с этим формулы (41), (44) имеют лишь асимптотический неквантовый
смысл. Формулы (66), (68) справедливы лишь тогда, когда пренебрегают как
флуктуационными,?так~и квантовыми эффектами. Формулы же (63), (65)
справедливы без ограничений.
§ 3. Марковский случайный процесс и описывающее его основное кинетическое
уравнение
1. Определение марковского процесса. Пусть у (t) = (у1 (/), ... ...,
уг (t)) есть r-компонентный марковский процесс. Он описывается набором
многовременных распределений
w(y(t)), w (у (к), у (к)), ..., w(y(ti), ..., y{tn)), ¦¦¦
Введем разновременные условные вероятности. Вообще говоря, условное
распределение w (? j т^), т. е. распределение случайной величины ? при
фиксированной величине г(, определяется формулой
w (I, Г]) = w {I 1 Г|) W (л). (3.1)
Полагая здесь g = у (t2) и г\ = у (А), согласно (1) получаем
w (у (А), у (A)) = w(y (A)) w {у (Q | у (к))- (3.2)
Далее, полагая ? = у (А), Ц = (у (ti), у (А))> из (1) будем иметь
W (у (к), У (к), У (к)) = w (у (к), У (к)) w (у (к) \ у (к), у (к))
или, если использовать также (2), w (У (к), У (к), У (к)) =
= w {у (k))w (У (к) | У (к)) w (у (t3) | у (к), У (к))-
Аналогичным способом в виде произведения условных вероятностей можно
представить w (у (А), ..., у (А)) и другие многовременные распределения.
Общая формула имеет вид
w (у (А), ..., у (tn)) =w (у (A)) w (у (к) I У (к)) X
X W (у (t3) | У (А), У (к)) ... W (у (Аг) I у (к) •••> У (к-1))-
(3.3)
Для определенности предположим, что к < к < ••• < tn. Марковским
называется такой процесс, для которого при любом k справедливо равенство
w (У (к) | У (к), ¦¦¦, У (к-1)) = w(y (к) \ У (к-i))> (3.4)
каковы бы ни были А> ..., th. Важно лишь, чтобы они были упорядочены, т.
е. выполнялось приведенное выше неравенство А < А < ... ... < tk.
Равенство (4) означает, что условная плотность распределения фактически
зависит лишь от значения процесса в последний момент времени из тех
моментов, которые стоят в условии, т. е. правее вертикальной черты.
Поэтому марковский процесс можно назвать также процессом без
последействия.
31
В силу (4) в случае марковского процесса равенство (3) принимает вид
w (У (4). у (tn)) = w (у (4)) по (у (4) | у (4)) х
X по (у (4) I у (4)) ...по [у (4) | у (4.-0) (3.5)
при 4 < 4 < ... < /".
Мы видим, что в случае марковского процесса многовременные распределения
произвольной кратности п определяются одновременным распределением w (у
(t)) и условной вероятностью w (У (t) \ У (t')), 4, носящей название
вероятности перехода.
2. Уравнение Смолуховского - Чепмена и следствия из него.
Проинтегрируем распределение w (у (4), У (4), У (4)) по У (4) в
бесконечных пределах. При этом получим распределение меньшей кратности
J по (у (4), у (4), у (4)) dy (4) = по (у (4), у (4)).
Теперь представим в форме (5) как трехвременное распределение, стоящее
слева под знаком интеграла, так и двухвременное распределение, стоящее в
правой части. Отбросив w (у (4)), получим равенство
J по (у (4) I у (4)) по (у'(4) | у (4)) dy (4) = W (у (4) I У (4)) (3.6)
(4 < 4 < 4). которое называется уравнением Смолуховского- Чепмена. Этому
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed