Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 106

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 178 >> Следующая

J d\i ехр (i-Пцр!) уВ(и\,
о
3
J ф (ехр (-рЖ) уВ ф) ехр (рЖ)у
(25.47)
* (М
(25.48)
Здесь при знаке усреднения мы пометили время выключения сил х,
упорядочение ведется по р.
Применим к (47) формулу (44), при этом оператор L берется равным
усредняемой экспоненте. В результате получим
X ехр
ехр
И
J dk ехр (-ibkpZ) хВ ф)х
L0
X
И
J ф ехр (СПцрг) уВ ф)д
L0
ехр (РФ -Рф). (25.49)
Перейдем теперь к обратному времени I = -t -j- const. В нем вместо В (()
следует брать В (f). Формула (48) в обратном времени имеет аналогичный
вид:
(У, х) = ^ехр
3
j ф (ехр (~цЖ) у В (7i) ехр (рЖ))^ о J / •* (?")
(25.50)
При выполнении условия временной обратимости, которое обусловлено
равенством (17.18), в левых частях (48) и (50) стоит одна и та
286
же функция (у, х) от выписанных там аргументов. Равенству (46), где (L+)h
{х) = (L+),V(M, в обратном времени соответствует равенство
(L+)r, Гс) (L+).5(?2) =
L+exp
J dk (ехр (-кЖ) хВ (7Я) ехр (кЖ))к
fix) (25.51)
(/ (jf) = ехр (p/\f - PFo))- Применим к обеим частям равенства (50)
операцию комплексного сопряжения. Учитывая (45), будем иметь
Ч-тАУ' *) =
(ехр
3
| dy (ехр (уЖ) уВ (4) ехр (-уЖ))ц
(25.52)
X (У)
Полагая в (51) оператор L+ равным экспоненте, усредняемой в правой части
(52), находим
Vl-h(y> х) f'1 (х) =\*Щ>
} dy (ехр (уЖ) у В (б) ехр (-уЖ)\
X
X ехр
j dk (ехр (-кЖ) хВ (t2) ехр (кЖ)\
L0
(25.53)
Теперь учтем, что, как указывалось в п. 17.2,
D (0 = eBD* (t (t)) = eD0* (-f -f const), (25.54)
где D - произвольный оператор, в том числе Ва. В силу (54) спра-
ведливы равенства
Ba(6) = eaB*(t2), Ba(72) = ec!B* (U), (25.55)
которые служат обобщением на квантовый случай равенств (24).
Поэтому формула (53) принимает вид
^l-l,iy> х) f1 (х) = ( ехр
j dk (ехр (кЖ) еуВ (ti) ехр (-кЖ))\
X
X ехр
И
| dy (ехр (-уЖ) ехВ (4) ехр (уЖ)\
(25.56)
(сделана замена к ^ у).
Операция комплексного сопряжения в правой части (56) появилась вследствие
ее присутствия в (55). Полагая у = ех, х = еу,
4 - 4 = т и снова учитывая (30), получаем
44 (ex, еу) f"1 (у) = ^ ехр
X ехр
\>
| dk ехр (-itikp2) хВ (t2\
3
J dy ехр iihypx) у В (^
X
(25.57)
287
Равновесные средние в (49) и (57) совпадают. Отсюда вытекает равенство
'Ft (у, х) ехр $F0 - f>Fx) = 'Ft (гх, гу) ехр (fiF0 - f>Fy) или
In 'Ft (у, х) - $FX - In 'Ft (гх, гу) - $Fy. (25.58)
Любое из полученных равенств представляет собой искомое квантовое
производящее равенство, вытекающее из временной обратимости.
7. Простейшие применения последнего производящего равенства.
Чтобы получить следствия из (58), функцию (47) следует представить в виде
ряда. Вместо (47) можно взять равенство
- р
J dX ехр (-ihXpx)xB (t2)x

типа (52). Положим здесь t2 = t0. Разлагая экспоненту в правой части (59)
в ряд и учитывая (39), будем иметь
(у, х) = ^ехр
(25.59)
* (М
^<1 - t* (У' х) - ' ' ' У*тФ' ¦"т (В"г^ ' ' ' Ват^т^)х
т^ (25.60)
при tm = ... = t2 = ti. Входящие сюда неравновесные моменты могут быть
выражены по обычным формулам из § 1 через неравновесные корреляторы (9).
Обозначения в (9) сохраняют свое значение и в квантовом случае. Выпишем
несколько первых равенств:
(-Sl)x (t0) === fcoti (^1 to, X) %а2 J , 2 ^2
*2
-оо
t о t о
"i^1l2xa2Xa1 J J Gl, 23 dt2 dt3 + . . ., (25.61)
-oo -oo
{В\В2)х (t0) - koixOLz (t\ tty x) + (t\ t$y X) kfx2 (t\ tty
X) -
tQ to to
= Gi2 -[- Xa3 | Gi2, 3 dta -|- 1l2Xa3Xa,i j" j" (Gi2,34 -[-Gi,3G2,4 -[-
H- Gi, 4G2,3) dt3 dt4
Равенства (61) следует подставить в (60), а (60) - в формулу (58) или,
что эквивалентно, в формулу
In 'Ft' (у, х) - pf, = In 'Ft* (ex, гу) - pF,. (25.62)
Дифференцируя обе части равенства (62) несколько раз по х и
несколько раз по у и полагая после этого х = у = 0, получим
соотно-
шения различных порядков. Так, дифференцируя (62) один раз по уа и один
раз по Хц, получим
*0 to
Ф (р) J Ga, р (/, t2) dt2 = Ф (р) гаг^ J Gp, а (/, t2)dt2.
-00 -00
288
Отбросив здесь Ф (р), получаем первое равенство (27). Далее, путем
дифференцирования равенства (62) по уа, у$, ху и приравнивания лг, у
нулю^можно получить
при tx = t2 = t.
Наконец, дифференцирование (62) по уа, г/р, ху, хь в нулевой точке дает
t(\ t0
при ti = 4 = t. Приведенные соотношения (63) и (64) служат квантовым
обобщением соответствующих равенств из (27). Имеется еще одно
четырехиндексное соотношение, которое мы не рассматривали.
§ 26. Немарковские производящие равенства в общем случае
1. Вывод вспомогательной формулы. Неквантовый случай. Выведем
производящее равенство для того случая, когда система находится под
действием произвольных переменных внешних сил ha (t). При этом
гамильтониан системы имеет вид
Подобные системы называются неконсервативными. Нетрудно убедиться, что
энергия в них не сохраняется.
Взяв полную производную по времени, имеем йЭв
(25.63)
->00 -ОО
-ОО -'00
*0 to
-'ОО -00
"Ь G(>y,ар (Д ^з> (25.64)
Ж (г, h (t)) = Ж0 (г) - Ц Ва (z) ha (О
(26.1)
а
и, следовательно, явно зависит от времени:
Ж (z, t) = Ж (z, h (t)).
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed