Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь к при В (4) (второй аргумент) есть индекс упорядочения операторов.
Это значит, что при всех X оператор В (4)я совпадает с В (4), но значение
к в В (4)я указывает место оператора: чем меньше к, тем правее
располагается данный оператор В (4)А.
Экспоненту в (34) можно разложить в ряд Тейлора. При этом с операторами,
снабженными индексом упорядочения, можно обращаться как с числовыми
величинами. На примере выражения
о о
при 4 = 4 = t покажем, как можно раскрыть степенные выражения с
упорядоченными по к-г операторами. Имеем
при 4 = 4 = t. Как указывалось, чем меньше значение ки тем правее должен
стоять соответствующий оператор, отмеченный индексом к. Поэтому
j = ф (Ръ Pi) Ц (4) D (4) + Ф (р2, pj D (4) D (4) (25.36)
В (36) писать индексы къ к2 нет надобности, так как явное упорядочение
операторов уже произведено. Заменяя во втором члене (36) обозначения ръ
р% на р2, ръ равенство (36) можно записать так:
В (4 - ifik) = ехр (-ifikpi) В (4) (р 1 = д/<?4)>
его можно записать в виде
0Л, (,', t - 4) ехр (|340 - pH,) =
= /ехр [j4exp(-ihkp^ хВ (4)?. ехр(пВ(/))у . (25.34)
(
о
о
J =
dk ехр (-ifikp) D (i)% =
Lo
j [ dk{ dk2 exp [-ifi [hp\ -f k2p2)] D (4)?" D (t2)i2 (25.35)
X exp [-ifi (hpi + k2p2)] D (4)Xl D (4)я2
при 4 = 4 = 4 где
P я,
Ф (/?i, р2) = j dki j dk2 exp (-Шк1р1 - i%k2p2).
о 0
J = 2Ф (pi, p2) D (4) D (4) при 4 = 4 = 4
(25.37)
283
Аналогичным образом, вводя функции
Ф (Pi, • ¦ • . Рт) =
Р ^т-1
= j dk1 j dX2 ... j е(Ятехр (~itiX1p1 - ... - ifiXmpm), (25.38) 0 0 0
m = 1, 2, 3, ..., произвольные упорядоченные по Я степени можно записать
в виде
dX ехр (-ifiXpi) хВ
- Р\ ... тХа ¦ ¦ ¦ Ха (Ф1 ... тВ\ ¦ ¦ ¦ Вт).
(25.39)
Изменением обозначений это равенство можно привести к форме
Р
j dX ехр (-itiXpi) хВ (t\)д
- tit! Хаг ¦ ¦ ¦ Ха/п (Ф1 ... тВ\ . . . Bm)t2 -^ ... = im = Л •
Здесь, как обычно, Вг = Bai (tх), ... и, кроме того, =
= Ф (plt ..., рп). Выпишем для конкретности несколько низших функций
(38):
Ф(Р)) = РуГ' (1 - ехр (-tj\)) = р/0+ {р^,
Ф (Ръ Р2)= (25.40)
= Р2yV' [г/Г"' (1 - ехр (-г/0) - (у\ + г/2Г' (1 - ехр (-г/, -
г/2))]
(yt - i$fipi). В неквантовом пределе Тг ->0 функция Ф (ръ
..., рт)
переходит в Pm/m!.
Разлагая экспоненту в (34) в ряд Тейлора и применяя (39) или последующую
формулу, получаем производящее равенство вида
(c)х Оя t - к) ехр (РF0 - р/г*) =
= ( 2j ха . ¦ ¦ Ха (Ф\...тВ\ . . . Вт) ехр (vB (t))\ . (25.41)
\ о 1 т /о
5. Некоторые применения квантового производящего равенства.
В квантовом случае вместо (20) из (41) можно получить
^1^1
\ j Ga. ",",(*; t")dt'dt" =
-оо -оо
= Р\2Ф(р1, p2)(Bai(t\), Ba2(ti), Ba(t))q,
11 ti
j J G"p, t, t', t")dfdr =
-.OO -00
= Р12Ф(ри p2)(Bai(t\), Ba> (t2). Ba(t), Bp(/))0. при t2 = ti<.t, где Ф
(plt p2) определяется второй формулой из (40). 284
Рассмотрим теперь другой частный случай. Полагая в (34) v = О, будем
иметь
оо
2 Xr'i ' ' ' Хат^] ¦¦¦ т t(r)1 ' ' ' ^т)оЬ" = tm =
ti -
т=1 аг ... ап
= ехр[-pf(a + х) + рр(а)]. (25.41а)
Здесь учтено, что Fx - F (а + х), F0=F(a). Мы видим, что определяемые
свободной энергией F (а), а именно, равенством
с"
ехр [~pf (а -\- kTv) -f (3F (а)] = 2 "ГГ 2 m"i'' ' anVai ' • ¦ Van
rt=0 a
числа ma ... r/ji, которые в неквантовом случае совпадают (см. (2.23)) с
единовременными равновесными моментами (Вал ¦¦¦ Вап)ряв, в квантовом
случае связаны с равновесными моментами формулой
ГПа1 ¦ ¦ ¦ ап =
= (кТГР1...п[Ф(Ри..., Pn)(Bai(U) ... Ban(tn))0]h = ... = <" = <1.
Используя равенство Pi...п (Ф1 ...п{В\ ¦ • • В")о)-- (kT)~l Pi... -1)
(Ф1... (л-i) (Bi . . . Вп)о),
(25.42)
доказываемое в приложении 8, последнюю формулу можно записать в виде
Ша1 • ¦ • ап = К • ап ' • • • '
где
МУк;п = (кТ)п-{ Pi ... (Ф,... ("_i) (Bi . . . Вп)0). (25.43)
Выражения (43) можно назвать квазиклассическими моментами. Мы видим, что
они в квантовом случае связаны со свободной энергией теми же формулами,
какими моменты связаны со свободной энергией в неквантовом случае.
6. Второе квантовое производящее равенство. Тем же способом, каким
было выведено (34), можно получить равенство Р
dk ехр (-ihkp2)xB (t2)i
(L)k(x)=(exp
L) exp (PFX-pF0),
(25.44)
где L - произвольный оператор, выражающийся, скажем, через Ва (t), а
внешняя сила h (т), стоящая при знаке усреднения в, левой части
равенства, задается равенством
ha W = хац (t2 - t),
аналогичным (1). Это значит, что среднее относится к процессу,
"возбужденному ступенькой".
285
Используя (30), равенство (44) можно записать в виде (L)h(t) =
/ *- Г13
= (ехр [ dk (ехр (кЖ)хВ {t2) ехр (-кЖ))
\ о
L ) ехр (Рф - Рф).
Применим к обеим частям этого равенства операцию комплексного сопряжения.
Пользуясь формулой
[Tr (АВ ... Z)]* = Тг 1(АВ ... Z)+\ = Tr(Z+ ... В+А+), (25.45)
будем иметь
(L+)h (г) =
= ( L+exp
dk (ехр (-кЖ) хВ (t2) ехр (кЖ))-к
ехр (8Fx- Рф). (25.46)
Здесь ехр означает, что чем меньше к, тем левее располагается оператор
(...) к. Введем функцию
Чф_фг/, х) = ^ехр или, в силу (30),
h (г)
(у, X) = { ехр
