Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
из (18) можно получить различные соотношения, связывающие интегралы (И) и
двухвременные равновесные корреляторы (19). Для этого нужно
продифференцировать (18) несколько раз по v ии'и после этого приравнять v
и v' нулю. В частности, легко получить
t" t"
(kTf J j Ga,[!v(t\ f, t")dt'dt" = (Ba(t), в(дд, в.дд)0,
- oo -oo
to t0
(kTf j j Gep,Te(f, f; f, t")dt'df = (25.20)
-oo -oo
= (Ba(t), Bp (t), Bv (to), B6(to))o
при t t0, а также многие другие соотношения. Отметим, что в
справедливости первого равенства (20) можно убедиться также, используя
(17.52). Существенно, что из (18) можно получить соотношения с пятью и
большим числом индексов.
3. Производящее равенство, вытекающее из временной обратимости.
Предположим, что выполняется условие временной обратимости (6.1), (6.7).
Тогда равновесная характеристическая функция удовлетворяет условию
временной симметрии
(c)рав(кЛ еи, т) = 0Рав(щ У, т), т^0. (25.21)
Чтобы его вывести, нужно учесть, что вследствие временной симметрии
средние
(ехр [vB (tfj -f v'B (g])0, (exp [i>В(7г) + v'B (g]>0,
соответствующие прямому и обратному времени, равны одной и той же
функции:
(ехр [иВ (д + УВ (4)])0 = 0рав (у, *i - к) при h^t2, (25.22)
(ехр [vB (tf) + v'B (?")]>" = 0Рав (v, v', \ - g при > t2. (25.23)
Момент времени, более ранний в обратном времени, является более поздним в
прямом. Учитывая также временные сигнатуры еа внутренних параметров,
имеем
Ва (h) = е"В, (g, Ва (t2) = гаВа (h) (25.24)
280
(?i - ?2 = ix 4). Подставляя (24) в (23), получаем
(ехр [vaeaBa (к) + vaEaBa (4)])0 = 0рав (у, v, t\ -12), tx i2.
(25.25)
Но выражение, стоящее в левой части этого равенства, в силу (22) есть не
что иное, как 0рав (еу', еу, tx - tt). Поэтому .(23) дает (21).
Используя (18), из (21) можно получить производящее равенство,
затрагивающее неравновесные характеристические функции:
In вкТгг (у, t - t0) + In 0О (у') = In 0*rftl (еу', t~t0) -f In 0O(y).
(25.26)
Из него также можно дифференцированием получить различные соотношения,
например, такие:
to to
j @а, p (t', 0^'=eaep J Gp, a (t; t')dt',
kT J J Ga, (t\ t', i")di'dt" = eaepev J GPv,a(f, t\ t')dt', (25.27) •-00
-00 -00
to to
j' j GaPi v6 (t, t\ t', f)dt'dt" =
- OO -00
t о 10
== J j aP (t, t , t ) dt dt .
OO OO
Первое из этих соотношений эквивалентно соотношению взаимности (17.30).
Это единственное соотношение взаимности, которое затрагивает только
диссипационные характеристики системы - адмитансы Gi, 2... п- Прочие
соотношения взаимности затрагивают также суперадмитансы G12f 3...,
G123l4..., ..., т. е. не только диссипационные, но и флуктуационные
характеристики. Из (26) можно также получить соотношения для
пятииндексных и других суперадмитан-сов. Общее (обобщающее (17.30))
соотношение имеет вид
Lav..an, pr..pm(fl2) =eai . . . epmZ-pr..pm,a1...% №2), *12 >0,
где
Lav..a.n, Pr.-Pm (*!2) =
12 t 2
- | * J Ga±.. .an, |31 . (/l, ¦ ¦ ¦ , t\\ • • • 1 tm) dt\ . . . dtm.
-00 -00
4. Первое производящее равенство в квантовом случае. Приведенный в п.
2 вывод производящего равенства в квантовом случае
неприменим, поскольку при операторном характере параметров Ва
и гамильтониана Ж равенство
ехр (-$Ж -ф f>xB) = ехр (-@Ж) ехр flJx5)
281
в общем случае становится несправедливым. Поэтому требуется произвести
более сложные выкладки. Введем обозначение
D (Я) = ехр (Х36) ехр (-Я {36 - хВ)). Дифференцируя (28) по Я, находим
dD (Я)/ДЯ = ехр {136) \36 - {36 - хВ)] ехр |
(25.28)
-Я {36 - хВ)]
или
dD (Я)jd.X = ехр (Х36) хВ ехр [-Я {36 - хВ)] =
= ехр (Я36) хВ ехр (-Я36) D (Я). (25.29)
Вследствие формулы типа (16.30) входящее сюда выражение ехр (Я36) хВ (t)
ехр (-Я36) можно интерпретировать так:
ехр (Я36) хВ (t) ехр (-Я36) - xB(t~~ ifiX). (25.30)
Интегрируя уравнение (29) при начальном условии D (0) = 1, получаем
ехр ($36) ехр (-$36 -f- $>хВ) ~ D (Р) = ехр
Р
J dk хВ (t - ii'iX)
(25.31)
Здесь стрелка над ехр имеет такой же смысл, что и в (16.33): она
упорядочивает операторы В (t - ihX) (см. (16.34)). Разница лишь в том,
что в (16.33) имеется в виду упорядочение по времени, а в (31) -
упорядочение по Я: чем больше значение Я, тем левее располагается
соответствующий оператор.
Равенство (15) в квантовом случае записывается в виде
0Ж (v, t - t0) = 7r {Сх ехр [-$36 -|- $хВ (^0)] ехр vB (f)}, t > t0.'
Подставляя сюда (31), точнее, равенство
ехр (-
$хВ (t0)) = ехр (-$36) ехр
j dk хВ (t0 - 1Ш)
получаем
(r)х (v, t - t0) =
СХС0 Тг р0ехр
dk хВ (t0 - ifiX)
exp(wfi(i))l, (25.32)
где ро = С0 ехр (-$36) - равновесная матрица плотности в отсут-этвие
внешних сил. Используя (2.75), (2.77), нетрудно видеть, что Ci = ехр
($F). Поэтому в данном случае сх = ехр (.бР^) = ехр [р/7 (а + + л-)], с0
= ехр [р/7 (a)j. Следовательно, (32) можно записать в виде
вх (v, t - ti) -
:^ехр
JdX хВ (ti - itiX) _о
ехр(иВ (t)) j exp (p/7*-$F0). / о
(25.33)
282
Здесь мы заменили 4 на 4- Равенство (33) служит квантовым обобщением
производящего равенства (18). Учитывая, что
