Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
driven), если они протекают при воздействии внешних сил, имеющих
ступенеобразный характер:
Значения ха не зависят от времени и характеризуют "высоту ступеньки".
К подобным процессам относятся первые результаты нелинейной неравновесной
термодинамики, полученные в работах Бернарда и Каллена [1 ] и автора
[44]. Авторы первой из этих работ, рас-, сматривая процессы,
"возбужденные ступенькой", весьма близко подошли к выводу квадратичных
ФДС (17.46), (17.60). Во второй из указанных работ были получены
производящие равенства для "возбужденных ступенькой" процессов.
При воздействии внешних сил (1) положение упрощается благодаря тому, что
в случае обычных перемешивающихся систем за бесконечно долгое действие
постоянных сил ha (t) = ха устанавливается состояние равновесия,
соответствующее этим силам, т. е. при t < t0 система описывается
равновесным (при силах ха) распределением Гиббса
После выключения сил ха в момент t0 это распределение становится
неравновесным и в системе возникает релаксационный процесс (который мы
будем называть простым) - процесс релаксации внутренних параметров от
значений, соответствующих распределению (2), к значениям, соответствующим
новому равновесному распределению
Введем, единовременную характеристическую функцию, описывающую указанный
релаксационный процесс:
(25.1)
wx (z) = Сх ехр {-$Ж (z) Н- |3х В (г)].
(25.2)
w0 (г) = С0 ехр (~рЖ(г)).
(25.3)
вх (гм, t - /0) 1 ехр (iuB (z)) w (z, t) dz, t0.
(25.4)
277
Она, естественно, оказывается зависящей от времени t0 выключения сил и от
их величины в прошлом.
Используя формулу (1.6), функцию (4) можно записать в виде
(r)*(v, t-tj -
¦ ехр
ио
у1, -7" ka а (t - to, X)va ...
Zj я! Zj "i" "Л u' ' "i
ZsrassJ tX ¦ ^b?oi • n=l a., .a.
где
kav . ,an (t - to, X) - (t), . . ., (tfh
, (25.5)
(25.6)
- единовременные неравновесные корреляторы. Если в (6) положить п = 1, то
получим неравновесное среднее значение, для которого, как известно,
справедливо равенство (16.4). Подставляя (1) в (16.4), имеем
^0 ? == -^3 [ Р ^2 ~"F"
4-V2Xpx7 J J Ga>fi7(*, 4, k)dt2dU
(25.7)
По аналогии с (16.4) можно записать формулы для более высоких
неравновесных корреляторов:
(Bi, • • • , Bn)h (т)
= (В 1, ..., В")о "Г Gl.. .гг, л+l^n+l X V2G1.. ,п; гс-|-1, n-\-2hn-\-
\hti-\-2 "t- ¦ ¦ ¦
(25.8)
где (Въ ..., Вп)0 - равновесный коррелятор, соответствующий распределению
(3). Входящие сюда функции G1...nin+1 можно назвать суперадмитансами.
Приравнивая в (8) времена f = t2 = ... = tn = = t и подставляя (1),
получаем
Со
kai...an(t~-t0, x) = ^r..0?i+Jfp j Gai...an, a(t, ¦ • •, f; 0*' +
-00
to 10
-г V^v f j Gav..an, ..., t- t', t") dt' df + . . . (25.9)
-00 -00
(kav..an = (Bt, ..., 5")0 при ti = .. . =tn = t). Вследствие (5)-(7), (9)
имеем
In 6X (v, t - t^) =
= lne"(u) +
-7 r Va . . . Va Xr ... Хр, X
ll ml 1 n P1 r'm
tn, n=1
U to
X
. f ... f Go. .. .a , p,.. . e (t, ...,t; t\, .... tm)dt\ . . . dt'm,
(25.10)
j j JL 71 JL ffl
-OO -00
278
где 0О (и) - не зависящая от л: характеристическая функция,
соответствующая распределению (3). Итак, логарифм характеристической
функции (4) с точностью до члена, не зависящего от х, является
производящей функцией для интегралов
2. Вывод производящего равенства. Ограничимся пока неквантовым
случаем. Кроме единовременной неравновесной характеристической функции
(4), можно ввести еще двухвременную равновесную характеристическую
функцию
врав til , ^2) ===
которая соответствует полному отсутствию внешних сил: h (t) s 0. Учтем,
что в момент времени t2 С ti имеет место распределение Гиббса (3) и что
динамические переменные г (С) при использовании уравнений Гамильтона
могут быть выражены через динамические переменные в предыдущий момент:
Поэтому (12) можно записать так:
врав (V, г/, и - t2) = J ехр [vB (<p^2 (z<2>)) +
+ v'B(z<2>)] С0 ехр (-рЖ (г<2>)) dz<2>. (25.14)
В то же время, учитывая (13) (при tx = t, t2 = t0) и используя
распределение (2), взятое в момент t0, равенство (4) приводим к виду
вх (v, t - t0) =
= j ехр (vB (2))] С* ехр [-$Ж (г) + рxB(z)]dz (25.15)
при t ^ t0. Сравнивая (14) и (15), получаем равенство
0, (v, t - to) = (CjCo) врав (V, рх, t - t0) (25.16)
при t /0. связывающее неравновесную характеристическую функцию с
двухвременной равновесной функцией. Если в (16) положить v = 0 и учесть,
что &х (0, t - t0) = 1, а 0рав (0, г/, t - t0) есть не что иное, [как
единовременная равновесная характеристическая функция 0О (У),
определяемая, скажем, формулой (2.23), то будем иметь
- оо
-оо
= (ехр [iuaBa (z (tl)) -f iu'aBa (z (?>))]), tl S312, (25.12)
2(^) = ФЛ^Л2(^)), ti^st2.
(25.13)
CJ Cx - (c)0 (px).
Поэтому (16) можно записать в виде
In @kTv'(v, t - to) = In 0paB (v, v', t - tQ) - 111 &0 (v').
(25.18)
(25.17)
279
Это и есть искомое производящее равенство. Учитывая (10) и формулу
1п0"ав(?'. v, t-t0) =
S п\т\ ^а1-..ап, Рх-• ¦ Pm ^о) • ' • l'anvV1 '
' ' Д,,,,
п,т
где
р1...рт(^ -=
= (Bai(t), в*п(t), Bh(g,..., вРт(g>0, (25.19)
