Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
требуется построить более обоснованную теорию данного эксперимента. С
самого начала видно, что экспериментально измеряемая спектральная
плотность SP (со) является линейным преобразованием равновесного
четверного момента (J1J2J3J4), поскольку эмпирическая спектральная
плотность Sy (со, *) и эмпирическая величина Я (t) обязаны быть
квадратичными по J. Но четверной момент состоит из двух частей -
гауссовой и негауссовой:
(J 1 ... Д) = Р(12з) [(>*Дг) {J3J4) 1 + {Ju ¦¦¦, Ji),
273
причем гауссова часть создается равновесными флуктуациями и фликкерных
зависимостей типа 1/со не содержит. Таким образом, наблюденная в
эксперименте зависимость 1/со обусловлена исключительно коррелятором (Ju
/2, Jb, Ji)> т- е- негауссовыми свойствами фликкер-шума.
Рассмотрим отдельные преобразования, совершаемые в эксперименте,
подробнее. Сначала напряжение V с резистора R0 подается на усилитель и
полосовой фильтр. Последний выделяет спектральные компоненты, относящиеся
к частотному интервалу (со4, со2). Эти преобразования являются линейными,
и их можно описать формулой
y(t) = \D(t - f) V (О dt' или на спектральном языке
у (со) = F (со) V (со) (F (со) = J е~шЮ (r)dx). (24.105)
Затем происходит квадрирование сигнала
z(t)=y*(t) (24.106)
и усреднение по времени
t
Р (/) = Г-1 J г (С) dt',
t-T"
(24.107)
Р (со) = (/соГ0)-1 [1 - ехр (-/соГ0) ] г (со) = Ф (со) z (со).
Наконец, измеряется спектральная плотность последней величины. Имеем
SP (со) = |Ф (со) |2 32(со),
где
|ф w =
Поскольку преобразование (106) в спектральной форме принимает вид
г (со) = (2л)-1''21 с/ (v) у (со - v) dv, то путем использования (105),
(107) нетрудно получить
(Р (сог) Р (со2)) = (2л)-1 Ф (coj) Ф (со2) J dv^v^F (v4) F (со4 - v4) X X
F (v2) F (co2 - v2) (V Ю V (coj - v4) X
X V (v2) У (co2 - v2)). (24.108)
Учтем, что
(P (C0j) P (C02)) = Sp (C0j) 6 (C0j + C02) При COj Ф 0,
(V (%) ... V (co4)) = (V (%), ..., V (co4)) + г. 4. =
= Sv (co1; co2, co3) 6 (co4 + ... + co4) + г. ч., (24.109)
где г. ч. означает гауссовы члены, описывающие равновесные флуктуации,
которые для нас не представляют интереса и поэтому не учитываются.
274
В силу (109) равенство (108) дае4 SP (со) =
= (2л)"1 |Ф (со)i2 J dv^v^F (v:) F (со -vx) F (v2) F (-со -v2)x
X Sv (cob co2, co3), (24.110)
Из (99) при z (со) = R0 имеем Sy (cob co2) co3) =
= 2я 1 (kT)~ R2 Ro (R + Ro) 1 [s°(coi + соз) + s (coi -j- соз) -R
+ s° (co2 + co3)].
Подставляя последнее равенство в (ПО), находим SP (со) = я-2 (kT)2 R2Ri
(R + ЯоГ4 | Ф (со) |2 х
X [ | /-С (со) |2s° (со) + 2 J / (со, to') S° К) dco'1, (24.111)
где обозначено
К (со) = | F (со - v) F (v) dv,
f (со, со') = / (со', со) = | F (v) F (со - v) F (со' - v)
X
X F(y - со - со') dv.
Сравним окончательную формулу (111) с нестрогой формулой (104). При этом
нужно иметь в виду, что Лео следует интерпретировать как (2л)"1 К (0),
поскольку, как несложно показать,
(Р (t)) = (г/2 (*)) = (2л)"-1 { | F (со) I2 Sy (со) dw "
" Sy (сох)- (2я)-1 J | Z7 (v) |2 dv.
Раньше же полагалось Р = Sv Лео
(см. (103)). Сравнение приводит к таким выводам: во-первых, усреднение
(107), описываемое функцией Ф (со), не нужно, так как оно только
увеличивает различие между сравниваемыми выражениями. Во-вторых,
пропорциональности функций SP (со) и s° (со) мешает появившийся в (111)
фактор | К (со) |2//С2 (0). Положим, например,
(с при со,. < | со | < со2,
F( со) =
( 0 в других точках.
Тогда этот фактор имеет вид
| К (со) |2/^2 (0) = [со2 - со! - 1 со | ]*/(<оа - соО2.
В-третьих, в (111) появился еще один член, обусловленный фликкер-шумом.
Его зависимость от со определяется интегралом
| / (со, со') s° (со') da'. Видим, что она существенно отличается от
зависимости 1/со.
275
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ЛИТЕРАТУРЕ К ГЛАВЕ 5
Общие формулы, определяющие корреляторы и производные от корреляторов в
марковских системах, были найдены в [65] (трехиндекскые формулы) и [72]
(четырехиндексные формулы). Правда, в отличие от § 22, для этою были
применены марковские методы. Примеры использования этих формул имеются, в
частности, в указанных работах. В некоторых других работах, например в
[25], корреляторы рассчитывались менее систематическими марковскими
методами. Четверной коррелятор электрического поля в неограниченной среде
с кубической нелинейностью был найден в [67] уже при помощи немарковских
ФДС. Другой пример их применения см. в [73].
Возможность появления электрического тока в пассивной цепи, лишенной
термоэлектрических свойств, только за счет разности температур нелинейных
сопротивлений была указана в [54]. Величина возникающего тока была
рассчитана там на примере цепи, содержащей два нелинейных сопротивления
со встречными преимущественными проводимостями. Четвертной коррелятор
фликкер-шума получен в [87].
Глава 6
ПРОИЗВОДЯЩИЕ РАВЕНСТВА НЕМАРКбВСКОЙ ТЕОРИИ
§ 25. Производящие равенства для процессов,
"возбужденных ступенькой"
1. Характеристическая функция простого релаксационного процесса.
Неравновесные процессы называются "возбужденными ступенькой" (step-
