Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления" -> 6

Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления — МГУ, 1966. — 319 c.
Скачать (прямая ссылка): uslovniemarkovskieprocessiiihprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 97 >> Следующая

lim kat,a {^...р. =0, k>\> I > 1
Д->0 R I
- К [Ea,* • • - , EfS,> • • • i !§;])• (1-22)
15
В самом деле, предположим противное и возьмем младший не стремящийся к
нулю семиинвариант (с наименьшей суммой k + /), скажем Ла,...аяр1...ря,.
Момент М 1а, ... 1а"1р, .. • ip* представляется через семиинварианты по
известным формулам (Стратонович [8]). Вычитая из этого выражения
произведение соответствующих аналогичных выражений для М |а, •.. 1ах и М
1р, ... ip*, найдем парную корреляцию К [la, •. -ia*. ip,.. -ip*]. Она не
стремится к нулю при р ->¦ 0, если &а,...аир,...р* не стремится к нулю, а
более младшие семиинварианты стремятся. Это противоречит формуле (1.20) и
доказывает, что данный семиинвариант также стремится к нулю. Выражая In 0
(и*, ... ... , Up-|_s) через семиинварианты по известным формулам,
убеждаемся, что из (1.22) следует (1.21). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Доказательство утверждения 1.1.А .проведем в
два этапа. На первом этапе докажем, что к случайным величинам
можно применить лемму 1.1 (при s=l) и доказать, следовательно, что эти
величины сходятся к независимым. На втором этапе будет доказано, что из
этой независимости вытекает
(пссле дифференцирования полагается уг = ... = = х0;
ут+1= ... =ут+'п = у). Здесь QL'mnxt..xm+n - новые функции, выражающиеся
интегрально через Qq}t...o и производные от
т(х). Поэтому они зависят от х0 и у, но не зависят от со и р (а также от
ух, ... , у^+п)¦ Усредним равенство (1.24) и выразим моменты М (Д) .. •
g(ym+n, вт+п) через семиинварианты (1.14): " ; ; ; ;
1.1.А.
1) Используя (1.13), получаем разложение
X § (.Уit *Л) . . . g (Ут-^-п, Om-\-n) Qmnkt...kmn (Пц • • • Дт+л) do^ .
. . dOm^.n
(1.24)
16
м ё (Kl> ^l) • • • ё {Ут+Пг o'm^n) - ? П kr.{ri пар из yv Oj, ...
• * • " 0*^^)
где 2* - известная (Кузнецов, Стратонович, Тихонов [Г]-, Леонов, Ширяев
[1]) симметричная конечная сумма по различным разбиениям и перестановкам
аргументов. Если теперь от момента М |а, • • • SafcSp+. перейти к
семиинварианту
к [U ... Ц, %+1 ] = м ... ц^+1 -м |в1... цм Vp+U
(1.26)
то число членов суммы 2* в выражении для ••• laklp+i уменьшится:
останутся лишь "неразложимые" произведения (по терминологии Леонова и
Ширяева). Произведение называется "неразложимым" (в данном случае), если
в нем есть хотя бы один "смешанный" сомножитель. Сомножитель кг(У11' °ii'
••• > У1Т' air) мы называем "смешанным", если в числе его аргументов есть
хотя бы один аргумент из группы Oi,...,am и в то же время хотя бы один
аргумент из a,n+1, ... ..., ат+п- Обозначим символом 2** сумму только
неразложимых членов суммы 2*. Тогда будем иметь
к II.,... ц. |'+1] = У ц-
, дуЬ . . . ду^т+п
tp+1
X
(1.27)
X
J f | | 2"П МППа Р И3 У1' а1' ¦ • ¦ > Ут+п,
От+п) X
1r.~m-\-n i

X Q mn\t..Xtn_^_niPit ¦ • • > Gm+n) do * ... dom.[_". Мажорирующий ряд
*р+1
Л J] f • • . j j • . • j |i-
mnll...\rl+ll 0 tp
gK, + ...+X" j_J."
X
X
дуЪ . . . du^m+n 1
П
do^ . . . d6mjrnj
(1.28)
очевидно, превосходит | К [lat . . . lak, llp+l\]. Здесь
*тп\.
- SUP (Д, . . . , <Jm+n) ¦ Оц • • • , <Т" (; [0> tp]\
бт-\-1, • • • , (; [tp, (p-|_l)} OO.
17
tp+1
¦f-J-
Будем предполагать сходимость ряда
о
dbi+-+hm+n
V
-J
mnk,...km_|_;1
-m-n 1
dy)1 ... dy^-m+n yi *m+n
Y\ki
clO-^ . . . dOm-^-n OO. (1.29)
При этом суммы (1.27), (1.28) будут стремиться к нулю при р.-*О, если
стремится к нулю каждый член ряда. В самом деле, легко показать, что
сумма сходящегося ряда стремится к нулю при р^О, если все члены этого
ряда положительны, убывают при р-^0 и стремятся к нулю.
Докажем, что каждый член ряда (1.28) (а следовательно, и (1.27)),
стремится к нулю при р-*0. Рассмотрим типичный такой член
Qmnk1...km_^n S, где
lp *р+1
8-ЫЬ.
qK+-+кгп_^_п
ду\1 ... духт+п 1 т г п
№ г
п~п da,
da"
. + "•
Это выражение распадается на произведение интегралов
s = П
L
^v,+...+vr;
kr. (xu o\, . . .,Xr., Or.) X p^'dai ... do'r.>
dxv^ ... dx-?rL
X
(1.30)
где лу, a,', ... , xr., a' представляют собой rt пар из t/v оv ...
Ут+п" crm+n. После дифференцирования по ла нужно поло-
.V,- = г/, если
жить АА
если xj (: {у^ ... , yj
xj(; {Ут+и ¦ ¦ ¦ , г/т+л}- Интегрирование проводится по интервалу
Д.([0,у, если O;^ {ov . . . , от\, и по интервалу [tp,tP+i 1, если a)(
{am+i, ... , от+п\. Сомножитель является несмешанным, если все его
аргументы ар ... , ог принадлежат одной группе, а1( .. . , от или от+1,
.. . , От+п- Скажем, они принадлежат первой группе, тогда интегрирование
в (1.29; проводится по области [0, tpIX ... X [0, tp\.
18
Сделав замену переменных х- = рАт^, имеем
ун2
tp№
' ¦У'- 1
,V, + ...+V,
дх\1 . . . dxV/i
kr,
dxx ... dxr,.
> Разобьем область интегрирования [0, p~2y]X ... X[0, р"2У] на ri(ri-1)
подобластей, фиксируя максимальный и второй по величине из аргументов.
Тогда
уч2 х' х'
kr,
дх]' ... dxyt
dx\ ... dx'r _2,
0 0 0 0 -i
где сумма содержит г, (г,- 1) членов. Используя свойство стационарности и
тождество
t X' t X' t
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed