Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
являющаяся, кроме того, неотрицательно
определенной, тогда существует lXl'-матрица о= ~ , та-
а I
кая, что det оф 0 и Ь = оо+, т. е.
оо+=г.Ь (4.5); аа+ = Ь+ (4.6); оо+= Ь. (4.7)
Доказательство. Формула det и (4.5) выте-
кают из (4.1), поскольку из невырожденной положительно определенной
матрицы всегда можно извлечь квадратный корень (можно даже подобрать
симметричную матрицу о). Подставляя (4.5) в (4.4) и обозначая а+а+ = 0+,
доказываем
(4.6). Наконец, подстановка (4.5), (4.6) в (4.2) приводит к
(4.7).
Лемма 4.3. Пусть гауссовы случайные величины (уь ..., yt) имеют
корреляционную матрицу k ранга V со свойствами, указанными в предыдущих
леммах, а также средние значения пге, р=1Тогда соответствующая им мера
v(A) в l-мерном эвклидовом пространстве Ri определяется следующим
выражением:
V 1
v (Л) = j" (2я) 2 det 2 k х
ГА
X exp l- (уе> - mr) {yx, - mt-)j dyx ... dyv, (4.8)
где
Г = {у ¦ ур" mP" - kp"X' kx'n' {ул - trijv)' Р/ = I -Ь • • • Д} есть Т-
мерная гиперплоскость.
Для доказательства применим лемму 4.2 к матрице k( = b) и запишем
исходные случайные величины в виде
у? = mp +орХ'1г', р=1, (4.9)
где ¦-независимые гауссовы случайные величины с
нулевым средним значением и единичной дисперсией. Раз-
79
решая первые V уравнений из (4.9) и подставляя результат в остальные I-V
уравнений, получаем
\х-= {Уг - т^У, (4.10)
у,* - mf" = Ир-,.аж {ух - тл-). (4.11)
Согласно (4.5), (4.6) имеем kk~l = oo~l, поэтому (4.11)
эквивалентно равенству
у9, - /яр" = k9-v k^n- (Уяг - тя). (4.12)
Оно доказывает, что мера v действительно сосредоточена на гиперплоскости
Г. Равенство (4.10) представляет собой невырожденное преобразование
случайных величин ?ь. имеющих плотность распределения
v ____
1-2
Рdv ¦¦¦ , Iv) = (2л) 2 ехр
р
р'
Преобразование этой плотности по обычным правилам и учет соотношения о+-
1о_1=й-'1 обосновывает экспоненциальное выражение в (4.8). Доказательство
закончено.
2. Приведем в заключение этого параграфа одну полезную лемму,
касающуюся более сложного объекта - диффузионного марковского процесса,
но тесно связанную с предыдущими леммами.
Лемма 4.4. Пусть y(t)={y\{t),...,yc(t) } - диффузионный процесс с
параметрами сноса а? (у, t) и матрицей локальных дисперсий b(y,
t)=\\bat(y, ОН- Предполагается, что все эти функции непрерывны по у и t и
что при всех у, t из областей определения матрица b(y, t) удовлетворяет
условиям лемм 4.1, 4.2. Тогда с вероятностью 1
Э -1 13 -1
j (dy9- - b9"X- bvn d*yn-) = j (a9- - bvn- an-) dt. (4.13)
a a
Для доказательства, в сущности, можно применить тот же прием, что и при
доказательстве предыдущей леммы, но соотношения (4.10) - (4.12)
записывать для дифференциалов. Поясним сказанное подробнее. Введем
матрицы а, а, определяемые леммой 4.2 (аа+=6), и рассмотрим уравнения
3
уЛ§)~ У?(а) = j [afdt + o9n'd*lx(t)], (4.14)
a
где 5i (t),..., (t) -независимые винеровские процессы.
80
Как известно {§ 2.2), эти уравнения определяют диффузионный процесс с
параметрами сноса аР и локальными дисперсиями <Тр"' аХЛ' = Ьрх, т. е.
процесс, определенный в условии леммы 4.4.
Взяв из (4.14) V уравнений
Р Р
j \dyr - ar dt] = f <Тр.Я" d*
a a
и пользуясь леммой 2.3, имеем Р
| djt'l' [d*yt- af' dt] = (P) - 1я- (a). (4.15)
a
Подставляя (4.15) в остальные уравнения
Р Р
j [dyf" - aP" dt] = j oP"n' d*lK-
a a
и снова используя лемму 2.3, получаем I3 Р
j [dyt-aP" dt] = ^at"n'On'p'[d* yr - aP'dt], (4.16)
a a
что доказывает (4.13).
Следствие 4.1. Для диффузионного процесса, рассмотренного в лемме 4.4, с
вероятностью 1 существует предел 1
^ Н-Д
lim-- ( (dyD' Ьр"х' 6Х'я- d*yK) - ар" ЬР"Х' bX'n' (4-17)
л-^о A J
§ 4.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ 0-АЛГЕБР В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Двухпараметрическая марковская система мер pst(z, Л), z?E, Л€ 8 в
измеримом пространстве (Е, 8 ) порождает меры в функциональном
пространстве ET = TlEt, где Et - ко-
t?T
лии пространства Е. Точки этого пространства будем обозначать г(-) =
\z(t), t? Т ).
Для однозначного задания меры в функциональном пространстве нужно ввести
"начальное" распределение или вместо этого, добавить условие
2 (s) = е,
где e(LE. Меру в функциональном пространстве, соответствующую этому
последнему случаю, будем обозначать pZ(S)-
81
Введем обозначения для а-алгебр в функциональном пространстве. Пусть dPt,
t?T есть а-алгебра, порожденная множествами { z(') : z(*0 € Л }, Л€<§.
Более обще пусть обозначает минимальную а-алгебру, порожденную
множествами \z(-) :z(t)€ A}, t€T, , т. е.
U ^)-
t?T
Далее, а-алгебру, порожденную множествами
{z(-):z(t)(:A,t(:f}, far, A?s,
будем обозначать
Как известно (например, Дынкин [2], стр. 32), при некоторых
топологических условиях (которые мы предполагаем выполняющимися)
согласованные меры для конечного числа моментов времени, в данном случае
меры
J ¦ • • j Бщ (е, dxД . .. tn (x^v Ап), Л1; . . . , Ап ( g,
A1 An-1
единственным образом определяют меру pZ(S) в измеримом пространстве (Ет,
при любом ТОТ.
Кроме того, для сепарабельной модификации процесса ?'(•) мера |TZ(S) на
