Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
t t
U
+ Y Wn J Мд. I X] dx.
t
4. В заключение сформулируем теорему, которая нам понадобится в
дальнейшем.
Теорема 3.6. Пусть ptu(x, Л), (х, Л)-марковские
системы мер, связанные соотношением (3.78) (вторая из них зависит от q, а
первая нет) и при любых (комплексных) q выполняется равенство
li'tu (х, Е) = 1 + f \L'tx (х, Е) Мд- [d*N' (х) 1 I X], (3.87)
S
75
где dN'(x) -некоторый оператор, такой, что
е^а dN' (т) е~ЧаХа = dN (т) (3.88)
не зависит от q. Тогда dN(x)=dL*(x) есть инфинитезималь-ный оператор
системы мер \xtu-
Доказательство. Учитывая (3.76), нетрудно видеть, что (3.87) эквивалентно
равенству
И-fc (х> ?) = 1 + J Кт (х> dx') (d'N'{) (х>)
t
или, вследствие (3.78),
и
| \itu (х, dx') еЧаХ " = eQaXaJr J ^ (х, dx') eq°-x а (d'N'1) (х').
t F
Учитывая обозначение (3.88), получаем
U
^\itli (х, dx') еЯаХ а = ^aJ:ct+ J |Я/т (х, dx') (d'Wd7^) (х') =
t
и
= j ((Xft d*iV) (x, dx") eq°-x"a
t
при любом q. Применение несколько обобщенной (на случай ненормированной
меры) теоремы обращения (Лоэв [1], стр. 199) приводит к равенству
U
\itu (х, А) = I (х, Л) + j (\itxd*N (т)) (х, Л)
t
(/(х,Л)--индикатор множества Л). Это равенство эквивалентно первому
равенству (3.4) или (3.3) и вследствие единственности инфинитезимального
оператора dL* имеем dL* - dN. Доказательство закончено. Вследствие (3.82)
dN' совпадает с другим инфинитезимальным оператором dL'* мер pfo.
Глава 4
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФУЗИОННЫХ МАРКОВСКИХ МЕР И ПРОИЗВОДНЫЕ В
ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Материал этой главы нужен нам для применения общих результатов по
условным марковским процессам, излагаемых в гл. 5, к важным частным
случаям .диффузионных процессов. Такая конкретизация проводится в главах
6 и 7, поэтому результаты указанных глав существенно основываются на
материале настоящей главы.
По вопросу об абсолютной непрерывности мер диффузионных процессов в
функциональном пространстве и о виде соответствующих производных имеется
большое число работ: работы Камерона и Мартина [1], Прохорова [1],
Скорохода [1], Гирсанова [1]. Результаты этих работ в основном были
получены при помощи преобразования меры Винера. Теорема 4.1 этой главы в
сущности повторяет указанные результаты. При этом приводится другой
способ доказательства - такой способ, который удобен для обоснования
следующей теоремы 4.2. Последняя теорема касается производной в
функциональном пространстве, соответствующем части компонентов
многомерного диффузионного процесса. По остальным компонентам как бы
производится усреднение. Возможность получения каких-либо точных формул
при такой постановке вопроса, насколько нам известно, еще не была
отмечена. Теорема 4.2. удобна для обоснования результатов гл. 7.
Рассмотрение, проводимое в настоящей главе, упростилось бы, если бы мы
потребовали невырожденности матрицы локальных дисперсий. Однако мы не
идем на такое ограничение общности. Это вызывает некоторое усложнение
формул, к которому, впрочем, легко привыкнуть. Вместо матрицы, обратной к
матрице локальных дисперсий, в выражение для производной входит матрица,
обратная к невырожденной
77
подматрице матрицы локальных дисперсий. Кроме того, как необходимое
условие абсолютной непрерывности мер появляется добавочное условие,
наложенное на составляющую вектора сноса в дополнительном
подпространстве. Понятия и обозначения, связанные с вырожденностью
матрицы локальных дисперсий, приводятся в § 4.1.
Этот параграф несколько выпадает из общего строя настоящей главы,
поскольку в нем не рассматриваются функциональные пространства. Однако он
является необходимым для дальнейшего, поэтому мы его помещаем как
вводный.
§ 4.1. НЕКОТОРЫЕ ЛЕММЫ ДЛЯ МЕР С ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ ДИСПЕРСИЙ
1. Рассмотрение вырожденной матрицы дисперсий помогает распространить
результаты § 4.3, § 4.4 и глав 6, 7 на случаи вырожденной матрицы
локальных дисперсий.
Лемма 4.1. Пусть матрица
b ь-Ь Ъ
где
bf'o' || Р'.
b - || ^р"0-
= 1 Г;
&+= 11 Vo"
ь = || Vo"
р", с" = Г 4-1,
(крестик означает транспонирование)
является симметрической матрицей ранга I', причем l'Xl-мат-рица ||6,6+||
также имеет ранг I', тогда
det&=?0; (4.1)
Ъ = Ъ-Ч+. (4.2)
Доказательство. Согласно условиям леммы можно подобрать такие
коэффициенты аР"т', что
V0' ~ V'a" = Ctp"x'Va"> (^-3)
или в матричной форме
b - ab; b = a b+
(индексы с одним штрихом пробегают значения 1,..., Г, а с двумя штрихами
- значения Очевидно, что ранг
матрицы не изменится, если из столбцов матрицы \\b,b+\\ вычитать
линейные комбинации ее первых столбцов, т. е. если
от ||6,&+|| перейти к ||Ь, Ь+-&а+|], где Ьа+= ||ЬР'т'ааЧ'|] •
Поэто-
78
му Rang ||6, b+-bd+\\ = lr, но в силу (4.3) и симметрии матрицы b имеем
й+ -йа+ = 0. (4.4)
Следовательно, Rang \\b, 0|] = /', что доказывает утверждение (4.1).
Чтобы вывести (4.2), получим а+1=6~1?>+ из (4.4), транспонируем эту
матрицу и подставим во второе равенство (4.3). Доказательство закончено.
Лемма 4.2. Пусть b - матрица, рассмотренная в предыдущей лемме и
