Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
J-i
Предположим, что для всякой g? G0 и всякого t существует предел
/(/) = Нш/д(/).
Д-"0
Этот предел будем интерпретировать как результат преобразования Ttug, так
что
Ttu = \\meL(t'+i)~L{ti) ... eL{tN)~utN~l). (3.16)
дн>о
trt
* В указанной теории рассматривается также условие
W-Bf\\>\\kf\\, B = L(u)~L(s), К> О,
связанное со сжимаемостью полугруппы. Мы не концентрируем на нем
внимания, так как может быть проведено обобщение теории на несжимаю-щиеся
полугруппы. В частности, тривиально обобщение на тот случай, когда
||7Д|<е** (К - конечная константа).
54
Уравнение (3.15) при этом обращается в уравнение *
f(t)~g = §dL(x)f(x), (3.17)
t
где интеграл понимается в смысле
f dL (t) f (t) = lim У \eLliJ+1)~ш^ - /} / (f/+,). (3.18)
В вышеизложенном смысле можно утверждать, что семейство производящих
операторов L(t) однозначно определяет функцию f(t) как решение уравнения
(3.17) и тем самым определяет Ttu как преобразование g в f(t). Из (3.16),
(3.17) следуют полугрупповые свойства этих преобразований.
Уравнение (3.17) можно писать в дифференциальной форме _
df(t) = -dL(t)f(t).
Аналогичное уравнение можно вывести и для ф€Ф, оно имеет вид
t _
ф(0 -cp(s) = J cp(T)dL(T), cp(s) = <p, (3.19)
S
где, подобно (3.18), интеграл понимается в смысле
f cp(T)dL (т) = lim V Ф It ) {ew</+i)-L(<i> -/}. (3.19.а)
J Д->0
s [s.f]
Уравнения (3.17), (3.19) аналогичны уравнениям (3.2), (3.3), но
соответствуют другому определению интеграла и другим производящим
операторам. Нетрудно также записать аналоги уравнений (3.4), (3.5). Для
этого следует лишь сделать в них подстановку
d*L* (t) = dL (t). (3.20)
4. В справедливости предположений, принятых выше, можно убедиться в
результате специального рассмотрения при более или менее общих условиях.
Мы не имеем возможности разбирать здесь обширный круг связанных с этим
во-
* В самом деле, из свойства I d L (t) F (t) -¦> 0 при max I] F (t) || -"
0
a 31
интеграла (3.18) вытекает, что
2 I*L - /] /Д (tt) = j dL (t) /л (т) -* j
d L (t) / (t).
55
просов. Ограничимся тем, что укажем на принципиальную важность условия
коммутативности операторов L (Ан)-Т((г), L(t{)-L(ti-i), соответствующих
близким интервалам. Если на некотором интервале [а, b] подобные операторы
коммутируют, то предельного перехода (3.11) совершать не приходится и
имеет место строгое равенство Тщ=7Д- (t, t'?[a,b]), так что предельный
переход (3.16) является излишним. Теория, соответствующая этому случаю,
является не очень существенным обобщением теории однородной
(однопараметрической) полугруппы.
Часто, однако, строгая коммутативность не имеет места. Для справедливости
ряда результатов оказывается достаточным более слабое условие
[L & )-?(*,_,)] 1L (tl+i) - L (/,)] - [L (/,+,)- L (/,)] X X - L(ti-i)\ =
о (А).
Не рассматривая этого вопроса подробно, приведем один важный результат.
Теорема 3.2. Пусть операторы Ss<=eL№~L(s>, s<A, т. е. операторы,
удовлетворяющие условию
\nSstg=-~-[L{t) - L{s)]g, (3.21)
g (
являются ограниченными:
"Ге"-'>к (3.22)
(К не зависит от s и t) и пусть выполняются соотношения
lim Sst = /; (3.23)
H-s) | О
st. =S,. tSu [1 + О (Д'+v)], y>0 (3.24)
г-1 г-fl i-1 i i i-f-1
(оценка О(ДН-т) понимается в смысле нормы и является равномерной по
tt^T). Тогда:
3.2.А. Предел (3.16) существует и не зависит от способа разбиения.
3.2.Б. Он определяет полугруппу операторов.
3.2.В. Эта полугруппа имеет операторы (3.11), совпадающие с Tit).
(А)
Доказательство. Выбирая разбиения {^Л)} С {ч 2 }, j = 2i, 2i+l, согласно
(3.24), (3.22), имеем
56
I П S tW /(Л) - П 5 (АЛ (А 41 < <?(u-s>* X
'/ ' Ж /
X {[1 + АО (AV)]A/ - 1} = (и - s) <?("-s)*0 (Av)). (3.25)
Будем рассматривать далее А/г-разбиения с интервалами длиной Ак =<* А-2-
*, k = 1, 2, . .. . Суммируя разности (3.25), будем иметь равномерно по
всем k
I П 5 (<д> ,(Д> - П S ,<Д*) /V I < (" - s) e("-s) О (Av), (3.26)
1 i <+1 t Ч ' Ц+1 1
k-\
поскольку 0(( A-2~k')v) = О (Av).
*'=0
Это доказывает сходимость (3.16). Аналогичное рассмотрение можно провести
и для других видов разбиений.
Утверждение 3.2.Б с очевидностью вытекает из (3.16), если учесть 3.2.А и
условие (3.23).
Перейдем к доказательству 3.2.В. Для этого обратимся к (3.11) (3.12). В
эти равенства входит 1и T,t , тогда как уело-
i г-j-1
виями теоремы 3.2 задан In S, (3.21). Найдем разницу между
i *4-1
этими логарифмами. Из (3.26) получаем
I П St. - 7J < (и - s) e<"-'>X0 (AV)
I i I
i
и, следовательно,
г?ж =sVh-i + 0(A)- (3'27)
Путем разложения в двойной ряд функции
In (I + A + B) (A = Stt-/, = -/)
i *-Н i t+1
и использования известных соотношений ти.па||С?>||-<||С|| ||Э||, легко
убедиться в справедливости неравенства
!! in (/ + А + В) - in (/ + А)!! < in (1 -!! А,;) -
- In (1 - .1 В )<----------------------- .
¦ " 1-|И!М|в|!
Применяя его к (3.27), получаем
In Ttt -lnS<( =-j-гт-5-° -А^,,,-------------гт-о (А).
УЖ i-Ж 1- S, , - / - О (Д) v
Yi+i
Здесь использовано, что j'Sw. -/|| = о(1) в соответствии
