Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
обоим аргументам. Такая функция удовлетворяет условиям (Дынкин [3], стр.
293) существования стохастического интеграла Ито (Ф€Д в обозначениях
Дынкина).
Будем рассматривать Л-разбиение 5д подынтервала [s, и]СТ:
s = t0<ti< ... <tN = u, max (f/+1 -1[) = A.
i
Определение 2.1. В рассматриваемом случае стохастический интеграл Ито
определяется формулой
и N- 1
Г Ф (д: (/), /) d* х (t) = lim V ф (х (Т)Д) I* (h+i) ~ х (*<)]• (2-2>
J А-*0 ~
s i== О
Здесь предел понимается в среднем (I. i.m.), если выполнено условие
ь
М j |Ф(*(/), Of*dt<oo. . (2.3)
а
В противном случае предварительно, вместо Ф, следует ввести ограниченную
функцию и в предельный переход (2.2) включить также стремление к
бесконечности уровня ограничения. Соответствующая довольно сложная
техника изложена в книге Дынкина [3]. Мы не будем ее рассматривать,
принимая, если угодно, условие (2.3).
Определение 2.2. Симметризованный стохастический интеграл определяется
формулой
]'Ф(а-(0, /)dx(t) = lim Vo ( x{t±+^+iL, ii±**+!-)x (2.4)
s /-0
X [x(ti+l) - x (/,)],
где предел имеет тот же смысл, что и в (2.2).
Вследствие упомянутой дифференцируемости функции Ф по t в правой части
(2.4) можно взять
ф(;Д!±!&нД, ,,) "ли ф(цц+^+,) _ ^
Теорема 2.1. При указанных предположениях интеграл (2.4) существует и
связан с интегралом Ито формулой
30
и
|ф (x(t), t) dx (t) =
S
u u
J Ф (x (t), t) d* x (t) + J ¦(X (t), t) b (x (t), t) dt
8
S
{почти наверное).
При доказательстве этой теоремы будет использована Лемма 2.1. Для
описанного выше диффузионного процесса почти наверное существует предел
Эта лемма является некоторой модификацией теоремы 2.3 из гл. VIII
монографии Дуба [1].
Доказательство теоремы 2.1. Выбрав Д-разбиение 5Д = {/1(Л)}, рассмотрим
разность -допредельных выражений в правых частях (2.2) и (2.4). Пользуясь
дифференцируемостью функции Ф(х, t) по х, имеем
Нетрудно понять, что последнее выражение при Д-^0 с ве-
в соответствии с леммой 2.1. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим более
крупное е-разбиение
U
°А = S [Ф (-"'-^2*--' 0 - ф (*> *<•)] (Х'+1 - Х'> 1
i
L
(О<0;<1, X,=X{t)).
роятностью 1 имеет своим пределом интеграл
и заменим
дФ (х, t) ,
заменим -------------------- на функции
дх
/е(/) :=SUp|-^-(x(T),T), [/iE), /$i]J при [/i?), /$i],
/е(0 = (* (Т)' т). Т( Stk'K ^+1^1 ПРИ ^+ll-
31
Обозначая
5t = Y 2h (^Л>) [X (^!) ~ * (*''A)¦)]2'
i
-*= i~2-e (^{A>) [x (^l} ~x (^))]г>
очевидно, имеем
Dt<Dx<De. (2.5)
Согласно лемме 2.1
,<?>
h+i
lim V [x(t%) - *(4Л))]2 = f b(x(t),t)dt, A^° r#(e) Де) He)
поэтому
D° = limDe = - [~fe(x(t),t)b(x(t),t)dt,
Л->0 2 J
S
D°
-e 2
u
X-^U{x(t),t)b{x{t),t)dt (2.6)
(здесь в процессе предельного перехода е остается фиксированным).
т т дФ , 7 л
Но вследствие непрерывности ---------- и b разность /е - /е и
dx
?>g-D° уменьшением е может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому из
(2.5), (2.6) вытекает существование предела с вероятностью 1:
U
lim DA = lim D° = limD° = - f - (* (i), t) b (x (t), t) dt.
&^>o 84.0 s-jO - 2 j dx
S
Доказательство закончено.
Пример. Рассмотрим пример, приведенный Дубом [1] на стр. 398. Пусть x{t)-
процесс броуновского движения с локальной дисперсией 6 = 1. Тогда вместо
формулы
U
| [х (t) - X (s)] d* x(t) = Y [x (и) - x (s)]2--l- (u - s)
S
32
для симметризованного интеграла будем иметь более простую формулу
U
^ [* (0 - .г (sj] dx (t) = Y [X (и) - X (sj]2.
S
Она согласуется с правилами интегрирования, которые пригодны для обычных
интегралов.
2. Перейдем к многомерному обобщению. Пусть имеется многомерный
диффузионный процесс x(t)= {xi (t), xm(t)\,
описываемый вектором сноса {аа(х, 0 1й матрицей локальных дисперсий
{ba,p(x, /), а, р=1, ..., т). Кроме того, пусть заданы функции {Фа(*, t),
а=1,..., т}, непрерывно дифференцируемые по всем аргументам.
Тогда можно определить многомерный стохастический интеграл
U
Г Фа (X (/), t) dxа (/) =
1- ( X(ti+l) + x(t;) ti+ +ti \
-11т^Фа( 2 ' 2 j\-xa.{ti+1) Xa(tj)].
i=0
(2.7)
Здесь и в дальнейшем подразумевается суммирование по дважды встречающимся
индексам.
Теорема 2.2. Предел в правой части (2.7) существует почти наверное и
связан с итовским интегралом соотношением
U
Фа (X(t), t)dxa(t) =
идФ
= J Фа (X (/), 0 d*xa (*) + -L ^ -JL (х(/)) /) Ь% (х (/)( t) dt' (2.8)
s s ^
Доказательство теоремы аналогично доказательству в одномерном случае и мы
не будем на нем останавливаться. Ему помогает
Лемма 2.2. Если ф(/)-непрерывная функция (не зависящая от со), a x(t, со)
- описанный выше диффузионный процесс, то почти наверное
2 V (О &+i) - (*(+i) " А'В (^i)l -*
[s,u]
и
-> | Ф(/) bap (х (/),/) dt при Д-*0.
S
33
3. Стохастический интеграл иногда удобно рассматривать как функцию
переменного верхнего предела. Задавшись системой функций Фка(х, t);
A=l,...,ft; а=1,...,т указанного ранее вида и непрерывными функциями 'Кя
(х, t), рассмотрим выражения
t t
гя (0 = j Y* (* (0, t)dt+ j Фяа (х (t), t) dxa (t). (2.9)
S S
Представляет интерес вычисление пределов типа (2.1) для указанных
